Luogu P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

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题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的  的矩阵（），矩阵中的每个元素均为非负整数（）。游戏规则（青春精简畅享SE版​​​​​）如下：

每次从每行的首或尾取一个数，得分为，其中为第次取数（从1开始计数），求可取得的最大值。

### 输入格式

输入文件包括  行：

第一行为两个用空格隔开的整数  和 。

第  行为  矩阵，其中每行有  个用单个空格隔开的非负整数。

样例输入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

样例输出 #1

82

分析

首先，因为我们是每行每次都要取一个数，所以此题实际上只用考虑每一行的最优解后再逐行相加即可。

想到这一点后，这道题（的dp部分）就不是很难了。我们可以令为此行中到可取得的最大值，然后我们可以得出以下的状态转移方程（pw数组为2的整数次幂）：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+pw[m-j+i-1]*a[i-1],dp[i][j+1]+pw[m-j+i-1]*a[j+1]);

这个状态转移方程相信大家可以大概可以理解，由于题目所说只可选择每行的第一个或最后一个数，所以我们只要取首（）尾（）再加上此处得分的最大值就可以了。

最后给出代damn码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n' 
using namespace std;
int n,m,ans;
int dp[105][105],a[105],pw[105];
signed main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=80;i++)pw[i]=pow(2,i);//记录二的整数次幂方便后面的计算 
    for(int t=1;t<=n;t++){
        memset(dp,0,sizeof(dp));//十年OI一场空 
        for(int i=1;i<=m;i++)cin>>a[i];
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=m;j>=i;j--){
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+pw[m-j+i-1]*a[i-1],dp[i][j+1]+pw[m-j+i-1]*a[j+1]);
            } 
        } 
        int maxh=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)maxh=max(maxh,dp[i][i]+pw[m]*a[i]);//找出每行的最优解 
        ans+=maxh;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;//十年OI两场空 
}//完结撒花，感谢陪伴 

盲生，你发现了华点。提交这个代码只能得60分，这时，我们再仔细看看数据：每行取数的得分 = 被取走的元素值，，，最多要计算到，所以现有的unsigned long long是无法解决这个问题的，摆在我们眼前的是两条路：高精度和__int128。
 
 为了掌握更先进的技术（懒得写高精度），我们选择用__int128继续完成此题。
 
 最后是AC（迫真）代Damn码：
 
 

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n' 
using namespace std;
__int128 n,m,ans;//泰裤辣！ 
__int128 dp[105][105],a[105],pw[105];
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void print(__int128 x){//太高♂级♂辣
    if(x<0){
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9)print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
signed main(){
    n=read();m=read();//由于__int128不在c++标准内，只有四则运算功能，所以需要配合快读快写食用 
    for(int i=1;i<=80;i++)pw[i]=pow(2,i);//记录二的整数次幂方便后面的计算 
    for(int t=1;t<=n;t++){
        memset(dp,0,sizeof(dp));//十年OI一场空 
        for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=read();
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=m;j>=i;j--){
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+pw[m-j+i-1]*a[i-1],dp[i][j+1]+pw[m-j+i-1]*a[j+1]);
            } 
        } 
        __int128 maxh=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)maxh=max(maxh,dp[i][i]+pw[m]*a[i]);//找出每行的最优解 
        ans+=maxh;
    }
    print(ans);
    return 0;//十年OI两场空 
}//完结撒花，感谢陪伴