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四十七（A）

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由于 \(x\) 严格递增（互不相同），考虑根号分治，设定阈值 \(B\)。

对于 \(x<B\) 的部分，直接做背包，求出 \(f_i\) 表示体积 \(i\) 能获得的最大价值。

转移一个物品进背包是 \(\Theta(k)\) 的，最多 \(\Theta(B)\) 个物品，复杂度 \(\Theta(kB)\)。

对于 \(x>B\) 的部分，考虑到这时候价值比较小。转置一下背包，考虑求出 \(g_i\) 表示获得价值 \(i\) 最少要多少体积。

因为总价值小于 \(\frac kB\)（乘上 \(x\) 要小于 \(k\)，而 \(x>B\)），所以转移一个物品是 \(\Theta(\frac kB)\) 的。这部分复杂度就是 \(\Theta(\frac{k^2}B)\)。

最后将 \(f,g\) 合并即可，这样我们在根号复杂度内解决了问题。

至于删除操作可以时光倒流，第一部分的加入是均摊的，第二部分加入是每次根号的。

但是还是无法通过。考虑优化第二部分的物品个数。注意到对于 \(v\) 相同的物品，肯定优先拿 \(x\) 小的。

如果对于某个 \(v\) 拿了超过 \(\frac k{vB}\) 个，那么体积超过 \(\frac k{vB}\times xv=\frac{kx}B\)，由于 \(x>B\)，体积大于 \(k\)。

所以对于 \(v\) 相同的物品只需要保留 \(x\) 前 \(\frac k{vB}\) 小的，剩下的永远也不会选到。

现在物品总数就是 \(\sum_{v=1}^{k/B}\frac k{vB}=\Theta(\frac kB\log k)\)。这一部分复杂度降到 \(\Theta(\frac{k^2}{B^2}\log k)\)。

总复杂度为 \(\Theta(kB+\frac{k^2}{B^2}\log k)\)，取 \(B=\Theta( (k\log k)^{\frac13})\) 得复杂度 \(\Theta(k^{\frac43}\log^{\frac13}k)\)。