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浅解 cdq 分治

cdq 分治用来解决一类可以独立计算贡献的问题。

比较经典的问题有：合法点对数，简单动态规划优化等。

cdq 的一般思想是：将当前处理的区间分成两半，左右区间内部的贡献递归处理，这层只处理左右区间之间的贡献。

如果单层处理的复杂度是 \(\mathcal O(n\log n)\)，总的算法复杂度就是 \(\mathcal O(n\log^2 n)\)，如果是线性总的就是线性对数的。

光讲概念比较抽象，来看几道题：

• 三维偏序点对计数：给序列 \(a,b,c\)，求 \(a_i<a_j,b_i<b_j,c_i<c_j\) 的 \((i,j)\) 数量。

先把三个序列按 \(a\) 排序。然后进行 cdq 分治：每次处理区间 \([l,r]\) 时，我们设 \(mid=\frac{l+r}2\)。

把区间 \([l,r]\) 分成 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\)。我们只用统计有多少满足题意的 \((i,j)\) 满足 \(i\in[l,mid]\)，\(j\in[mid+1,r]\) 就好了，剩下的交给递归处理。

我们将左半边的数按照 \(b\) 排序，右半边的数也按照 \(b\) 排序。注意 此时左半边的 \(a\) 全都小于右半边的 \(a\)。因此 \((i,j)\) 是一定满足 \(a\) 的限制的。

考虑 \(b\) 的限制：我们进行一个归并，对于 \(j\) 双指针找到最大的 \(i\) 满足 \(b_i < b_j\)，那么 \(i\) 之前的都是满足 \(b\) 的限制的。

最后考虑 \(c\)。我们用一个树状数组，在 \(i\) 扫过的时候将 \(c_i\) 扔进树状数组里，在算 \(j\) 的时候合法的 \(i\) 的数量就是树状数组中 \(<c_j\) 的数量。

于是就做完了，复杂度 \(\mathcal O(n\log^2n)\)。

• 三维最大权上升路径：给若干三维点，点有点权，要求路径中 \(x,y,z\) 坐标不降，求最大权路径。

可以考虑简单的 dp：\(dp_i\) 表示走到 \(i\) 号点的最大权值，转移可以从 \(x,y,z\) 都比它小的点转移过来。

这个难以用数据结构维护（除去kdt）。我们考虑 cdq，用和上题类似的方式。

考虑分治，每次进行所有左半边的点到右半边的转移。

转移条件仍然是一个三维偏序，不同的是由求和变为了求 \(dp_i\) 的最大值，霜树状数组里维护 \(dp_i\) 的最大值即可。

注意这里的递归顺序，我们要先求出左半边的 dp 值，将它们转移到右边，再在右边转移。

所以要先递归左边，处理完这层再递归右边。复杂度还是 \(\mathcal O(n\log^2n)\)。

• 二维平面，单点修改，矩形求和。

矩形求和可以差分变成求 \(x\leq x_0,y\leq y_0\) 的权值和。

这题与前面的题不同之处在于这个是动态的，但是 cdq 仍然可以得心应手的解决这类问题。

我们离线所有操作，考虑对操作序列分治，每次计算左边区间的修改对右边区间的询问的贡献。

注意这里不需要考虑左边的询问和右边的修改，它们自然会被递归处理。

和三维偏序类似地，把左边的修改按 \(x\) 排序，右边的询问也一样。

套路地进行一个归并，然后用树状数组维护 \(y\) 这一维，询问查询 \(\le y\) 的权值和即可。

由此可见，这个题目也是一个三维偏序：\(x\le x_0,y\le y_0\)，还有一维是修改的时间维度。

可以看出，cdq 可以方便地把动态问题转为静态问题，

因为 分成的左区间时间都小于右区间的时间，于是不需要考虑次序问题。

在这题中，每层分治要解决的就是一个静态的二维数点问题。

我们还可以总结出 cdq 解决这类三维偏序问题的套路：先按第一维排序后分治，分治中左右区间分别按第二维排序，进行归并得到次序，最后用树状数组等数据结构维护第三维度。

• 天使玩偶：二维平面，加点，求距离 \((x,y)\) 曼哈顿距离最小的点的距离。

这仍然是一个动态问题，且这个要求的东西贡献可以独立计算。如果它的静态版本易于计算，分治一下就解决了。

这个距离不好计算，我们考虑每次只算 \((x,y)\) 左下方的点距最小值，然后反转一下 \(x,y\) 坐标，算个 \(4\) 次就好了。

那么又是一个经典的静态二维偏序。按 \(x\) 排序后相当于求之前的点满足 \(y\le y_0\) 的 \(x+y\) 最大值。

树状数组维护最大值即可。再套上cdq，复杂度 \(\mathcal O(n\log^2n)\)。

• CF848C：序列，单点修改，求每个值在区间中最后一次出现位置减去第一次出现位置的和。

转化题意：要求的等价于所有 \(pre_i\ge l\) 的 \(i-pre_i\) 的和，\(pre_i\) 表示 \(a_i\) 上一次出现的位置。

这显然是一个三维偏序问题：\(i\le r,pre_i\ge l\)，以及时间维度。

每次单点修改会修改 \(\mathcal O(1)\) 个点的 \(pre\)，那么把 \((i,pre_i)\) 看作二维点，就变成加点，删点，求矩形和的问题。

用 set 维护 \(pre\)，直接 cdq 即可，复杂度 \(\mathcal O(n\log^2n)\)。

• P5621：给若干四维点，点有点权，要求路径中 \(x,y,z,w\) 坐标不降，求最大权路径。

这个是四维偏序的模板题。

四维偏序因为多了一维，不能再用一个 cdq 解决。我们考虑在 cdq 中套一个 cdq。

具体地，还是先按 \(a\) 排序，在第一个 cdq 中，我们将左边的点染成白色，右边的染成黑色。

然后进行第二个 cdq 分治处理整个区间。在第二个分治中，我们先不考虑 \(a\) 的限制，按照三维偏序的方法处理 \(b,c,d\) 三维的限制，最后只让白色点贡献到黑色点即可。

注意在递归过程中要维护好数组的排序。可以用复原数组的方法，也可以直接每一次 sort 一下。

复杂度是 \(\mathcal O(n\log^3n)\) 的，常数较大。

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