exlucas

exLucas

本文参考了 \(\texttt{Great\_Influence}\) 大佬和 \(\texttt{Fading}\) 大佬的题解。

求 \(\dbinom n m\bmod p\)。

考虑到 \(p\) 不一定是质数，设 \(p=\prod{p_i}^{k_i}\)，\(p_i \in \text{Prime}\)。

那么可以先对于所有 \(i\) 求出 \(\dbinom n m\bmod {p_i}^{k_i}\)，最后 \(\text{crt/excrt}\) 合并答案。

\(\dbinom n m\bmod {p}^{k}\)

\(=\dfrac{n!}{m!(n-m)!} \bmod {p}^{k}\)

可以把上式阶乘里的 \(p\) 揪出来。

定义 \(f(n)\) 为 \(n!\) 里面 \(p\) 的个数，即 \(f(n) = \max\{k|\dfrac{n!}{p^k}\in \mathbb{N}^{+}\}\)。

设 \(n!=xp^{f(n)}\)，\(m!=yp^{f(m)}\)，\((n-m)!=zp^{f(n-m)}\)

则原式 \(=\dfrac{x}{yz} \times p^{f(n)-f(m)-f(n-m)} \bmod {p}^{k}\)

显然 \(f(n)\) 是可以在对数时间内求得的，因为我们有

\(f(n)=\begin{cases}\lfloor\dfrac{n}{p}\rfloor+f(\lfloor\dfrac{n}{p}\rfloor),x\ge p\\0,x<p\end{cases}\)

小学知识，感性理解即可

剩下的 \(\dfrac{x}{yz}\) 因为里面的 \(p\) 都被扒光了，所以可以直接求逆元

问题是怎么求 \(x,y,z\)？

考虑一下一个结成把一些倍数扒光后剩下什么

比如 \(22! \bmod 3^2\)

\(=1 \times 2 \times {\color{red}3} \times 4 \times 5 \times {\color{red}6} \times 7 \times 8 \times {\color{red}9} \times 10 \times 11\)

\(\times {\color{red}12} \times 13 \times 14 \times {\color{red}15} \times 16 \times 17 \times {\color{red}18} \times 19 \times 20 \times {\color{red}21} \times 22 \bmod 3^2\)

把 \(3\) 的倍数都揪走：

\(=1 \times 2 \times 4 \times 5 \times 7 \times 8\)

\(\times 10 \times 11\times 13 \times 14 \times 16 \times 17 \times 19 \times 20 \times 22 \times 3^7 \times 7! \bmod 3^2\)

你发现 \(1 \sim 8\) 这段和下面 \(10 \sim 17\) 这段循环了，它们 \(\bmod\;3^2\) 的值一样，于是

\(=(1 \times 2 \times 4 \times 5 \times 7 \times 8)^2\times 19 \times 20 \times 22 \times 3^7 \times 7! \bmod 3^2\)

前面循环节长度显然是 \(p^k\) 级别的，剩下几个零散的数数量也是 \(p^k\) 级别的。

循环部分我们快速幂求解，零散部分我们暴力乘，剩下的递归下去即可。

于是我们就能够轻松计算出 \(x,y,z\) 了。

最后算上求逆元、快速幂等时间，我们在 \(\mathcal{O(plogn)}\) 时间内实现了 \(\text{exLucas}\) 算法。