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Contest2583 C Solution

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魔法题！！11

首先最优方案肯定是按 \(a_i\) 从大到小地抽。因为大的扭蛋只能在这些大的机子里抽到，抽再多的小机子也没用。

现在我们从最大的扭蛋 \(m\) 开始抽，一路往下，考虑扭蛋 \(i\)：

• 如果在抽 \(i+1\sim m\) 的扭蛋时已经抽到了扭蛋 \(i\)，我们就不需要再特意去抽 \(i\) 了。

• 反之，我们要假设 \(b_i\) 表示 \(a_i\) 中大于等于 \(i\) 的最小的数，我们就要不停地抽 \(b_i\) 直到抽到了 \(i\)。

很显然在 \(b_i\) 中抽到 \(i\) 的期望次数就是 \(b_i\) 次。

现在综合考虑上面的情况，由期望的线性性，假如情况 2 的发生概率是 \(p_i\)，那么答案就是

\[\sum p_ib_i+(1-p_i)0=\sum p_ib_i \]

现在的问题是怎么求 \(p_i\)，假如我们只考虑 \(i\sim m\) 这 \(m-i+1\) 个扭蛋：

定义一次扭蛋为 有效的扭蛋 当这次抽到了 \(i\sim m\) 中没出过的扭蛋。

我们考虑如果发生了 \(m-i\) 次有效扭蛋，那么此时 \(i\sim m\) 中还有一个扭蛋没有被抽到。你发现这颗扭蛋是 \(i\) 的概率刚好就对应 \(p_i\)！所以 \(p_i=\frac1{m-i+1}\)。

所以最后的答案就是 \(\displaystyle\sum_{i=1}^m\frac{b_i}{m-i+1}\)，直接计算即可。不过建议 \(O(n)\) 预处理 \(b_i\) 和逆元，不然可能会被卡常。