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CF1487G Solution

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想一想没有字符的限制怎么做。

首先，没有长度大于一的奇回文串显然等价于没有长度为 \(3\) 的回文串。

也就等价于 \(\forall i\in[1,n-2],s_i\not=s_{i+2}\)。

那么在没有限制的情况下，我们确定好了前两位字符，后面的 \(n-2\) 位各有 \(25\) 种字符可选。

方案数即为 \(26^2\times25^{n-2}\)。

现在回到原题，我们考虑用全部方案数减去有字符超出限制的方案数得到答案。

注意到 \(c_i>\frac n 3\)，这意味着超出限制的字符最多只有两个（否则字符数量将大于 \(n\)）。

既然这样，答案就是全部方案数减去一个字符超限的方案数，再加上两个字符超限的方案数。

由于超限的字符顶多两个，我们试着 dp，设两个特殊字符 \(a,b\) 且 \(dp_{pos,i,j,x,y}\) 的五个维度分别表示：

\(pos\)： 前 \(pos\) 位，\(i\)： 字符 \(a\) 的数量，\(j\)：字符 \(b\) 的数量，

\(x\in\{0,1,2\}\)：第 \(pos-1\) 位为普通字符 / 字符 \(a\) / 字符 \(b\)，\(y\) 同理表示第 \(pos\) 位。

那么初始状态：

\[dp_{1,0,0,0,0}\gets 24 \]

\[dp_{1,1,0,0,1}\gets 1 \]

\[dp_{1,0,1,0,2}\gets 1 \]

\[dp_{2,i,j,k,0}\gets dp_{1,i,j,0,k}\times24 \]

\[dp_{2,i,j,k,1}\gets dp_{1,i-1,j,0,k} \]

\[dp_{2,i,j,k,2}\gets dp_{1,i,j-1,0,k} \]

转移：

\[dp_{pos,i,j,k,0}\gets dp_{pos-1,i,j,0,k}\times23+dp_{pos-1,i,j,1,k}\times24+dp_{pos-1,i,j,2,k}\times24 \]

\[dp_{pos,i,j,k,1}\gets dp_{pos-1,i-1,j,0,k}+dp_{pos-1,i-1,j,2,k} \]

\[dp_{pos,i,j,k,2}\gets dp_{pos-1,i,j-1,0,k}+dp_{pos-1,i,j-1,1,k} \]

然后设 \(\displaystyle sum_{i,j}=\sum_{p=i}^n\sum_{q=j}^n\sum_{x=0}^2\sum_{y=0}^2dp_{n,p,q,x,y}\)，也就是 \(dp_{n}\) 的后缀和，

那么答案即为 \(26^2\times25^{n-2}-\sum_{i=1}^{26}sum_{c_i+1,0}+\sum_{i=1}^{26}\sum_{j=i+1}^{26}sum_{c_i+1,c_j+1}\)。

时间复杂度 \(\mathcal O(n^3)\)，空间复杂度滚掉一维可以 \(\mathcal O(n^2)\)。