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CF1396D Solution

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题面：

给你一个 \(L\times L\) 的矩形，有 \(n\) 个点放在不同的格子内，每个点有颜色，共 \(k\) 种颜色，求有多少个矩形满足其内部含有所有颜色的点，对 \(10^9+7\) 取模。

\(k\le n\le2000,L\le10^9\)。

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首先离散化。

看到数据范围说明可以枚举矩形的某个端点或者上下（左右）边界。枚举端点没什么用，考虑枚举上下边界 \(u,d\)。

现在只看第 \(u\) 行到第 \(d\) 行，我们要统计有多少对 \((l,r)\) 满足第 \(l\) 列到第 \(r\) 列是满足条件的。

这是一个典型问题。设 \(f_i\) 表示最小的 \(j\) 满足第 \(i\) 列到第 \(j\) 列是满足条件的，那么 \(l=i\) 的贡献即为 \(L-f_i+1\)。

设 \(m\) 为 \([u,d]\) 内点数，\(c_i\) 表示离散化后的点的列编号，答案即为

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^m(c_i-c_{i-1})(L-f_i+1)&=\sum_{i=1}^m(c_i-c_{i-1})(L+1)-\sum_{i=1}^m(c_i-c_{i-1})f_i\\ &=c_m(L+1)-\sum_{i=1}^m(c_i-c_{i-1})f_i \end{aligned}\]

至于如何求 \(f\)，考虑设 \(nxt_i\) 为第 \(i\) 列所有颜色的下一个出现的列的最大值。

如果现在求出了 \(f_i\)，显然 \(f_{i+1}=\max(f_i,nxt_i)\)。每次处理 \(f\) 是 \(\mathcal O(n)\) 的，我们得到了一个 \(\mathcal O(n^3)\) 的算法。

现在考虑固定 \(u\)，在枚举 \(d\) 时优化。你发现如果从小到大枚举 \(d\) 会出现插入点的操作，这使得有些 \(nxt\) 需要缩小，不方便处理 \(\max\)。

于是考虑反过来，从大到小枚举 \(d\)，把插入变成删除，这样子 \(nxt\) 只会增大。

\(f\) 数组实质上是 \(nxt\) 数组的前缀最大值，那么我们修改 \(nxt\) 时只需要将其后面的某一段 \(f\) 统一赋值即可。这个赋值的边界可以二分得到。

那么你现在需要支持 \(f\) 数组的：区间赋值，总体求和。这个显然可以线段树维护。

这样每个 \(u\) 耗费 \(\mathcal O(n\log n)\) 的时间，总复杂度即为 \(\mathcal O(n^2\log n)\)。