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CF1184A3 Solution

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题意：给你两个长度为 \(n\) 的小写字符串 \(s,t\) 和一个 \(m\)，定义哈希函数

\[h(s)=\left(\sum_{i=0}^{n-1}s_ir^i\right)\bmod p \]

求构造 \((p,r)\) 且 \(p\ge m,r\in[2,p-1]\)，使得 \(h(s)=h(t)\)。

\(n,m\le10^5\)。

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题目即求一个多项式 \(f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}(s_i-t_i)x^i\) 满足 \(f(r)\bmod p=0\)。

考虑一个朴素做法：随便选一个 \(p\)，枚举 \(r\) 用多项式多点求值求出所有 \(f(r)\bmod p\)，看看它是不是 \(0\)。

如果将 \(r\) 看作在 \([2,p-2]\) 上随机，\(f(r)\) 看作在 \([0,p)\) 上随机，那么对于单个 \(r\)，\(f(r)\neq0\) 的概率是 \(1-\frac1 p\)。

那么所有 \(f(r)\) 都不为 \(0\) 的概率是 \((1-\frac1 p)^p\)，由于 \(p\) 较大，这个数可以近似为 \(\frac1 e\thickapprox0.36\)。

那么我们多找几个 \(p\) 就基本上可以保证找出 \((r,p)\) 了。

问题是，这个做法是 \(\mathcal O(n\log^2n)\) 的，并且带有大常数，何况我不会任意模数多点求值/嘲讽。

考虑把多项式的规模变小。如果我们能找到 \(d\) 满足 \(r^d\equiv1\pmod p\)，多项式的规模就降到了 \(d\)。

这里 \(d\) 显然有 \(d|p-1\)。考虑令 \(r=r_0^{\frac{p-1}d}\)，那么 \(r^d\bmod p\) 肯定是 \(1\)，只需要满足 \(r_0^{\frac{p-1}d}\bmod p\neq1,p-1\)。

我们考虑从小到大枚举 \(d\)，再枚举 \(p\) 满足 \(d|p-1\)，随机出满足条件的 \(r_0\) 搞出 \(r\)，暴力算 \(f(r)\bmod p\) 的值。

这样子找不到 \(0\) 的概率提升了，变为 \((1-\frac1 d)^d\)，但多点求值的复杂度降到了 \(\mathcal O(d\log^2d)\) 或 \(\mathcal O(d^2)\)。

经过测试可以通过（？），复杂度我也不知道是啥