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CF1119H Solution

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题意：给你三个数 \(x,y,z\)，考虑 \(n\) 个数组，每个数组有 \(x\) 个 \(a_i\)，\(y\) 个 \(b_i\)，\(z\) 个 \(c_i\)，\(a_i,b_i,c_i\in[0,2^k)\)。

对于所有 \(t\in[0,2^k)\)，求从每个数组各取出一个数，这些数 xor 和为 \(t\) 的方案数，模 \(998244353\)。

\(n\le10^5,k\le17\)。

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首先显然题目要求的就是 \(n\) 个桶 xor 卷积后的结果，但是直接卷积是 \(\mathcal O(nk2^k)\) 的，肯定过不了。

注意到每个桶只有 \(3\) 个位置有值。考虑 xor 卷积的过程，求出第 \(i\) 个数组的 \(FWT\) 数组

\[FWT_{i,j}=(-1)^{\text{popcount}(j\&a_i)}x+(-1)^{\text{popcount}(j\&b_i)}y+(-1)^{\text{popcount}(j\&c_i)}z \]

如果用上面这个式子求出 \(n\) 个 \(FWT\) 数组，然后点乘，再 \(IFWT\)，复杂度是 \(\mathcal O(n2^k+k2^k)\) 的，仍然爆炸。

我们最后要求的是数组 \(\prod FWT_i\)（\(\prod\) 为点乘），考虑下标 \(j\)

\[\prod_i FWT_{i,j}=\prod_i( (-1)^{\text{popcount}(j\&a_i)}x+(-1)^{\text{popcount}(j\&b_i)}y+(-1)^{\text{popcount}(j\&c_i)}z) \]

后面的只会有 \(8\) 种取值（\(3\) 个正负号）。为了方便，我们一开始将 \((a_i,b_i,c_i)\) 全部 xor 上一个 \(a_i\)，

得到 \((0,b_i \oplus a_i,c_i\oplus a_i)\)，最后再把答案 xor 上 \(\bigoplus_i a_i\)。这样 \(8\) 种取值变成了 \(4\) 种，因为 \(x\) 系数一定是 \(1\) 了。

四种取值分别是 \(x+y+z,x+y-z,x-y+z,x-y-z\)，我们分别算出每种的数量最后快速幂就好了。

设四种情况数量分别为 \(c_1,c_2,c_3,c_4\)。首先 \(c_1+c_2+c_3+c_4=n\)。

显然 \(c_1,c_2,c_3,c_4\) 与 \(x,y,z\) 的取值无关。

考虑令 \(x=0,y=1,z=0\)，那么 \(FWT_{i,j}=(-1)^{\text{popcount}(j\&b_i)}\)。

这时候考虑 \(4\) 种情况对这些 \(FWT\) 值的贡献，则有

\[c_1+c_2-c_3-c_4=\sum_{i}FWT_{i,j} \]

至于如何求 \(\sum_{i}FWT_{i,j}\)，我们可以直接把所有桶先加起来再 \(FWT\)，因为 \(FWT\) 是线性变换。

类似地，令 \(x=0,y=0,z=1\) 和 \(x=0,y=1,z=1\) 我们分别可以得到

\[c_1-c_2+c_3-c_4=\sum_{i}FWT_{i,j} \]

\[c_1-c_2-c_3+c_4=\sum_{i}FWT_{i,j} \]

注意这里的 \(\sum_{i}FWT_{i,j}\) 是针对不同的桶算的。

现在我们有了关于 \(c_1,c_2,c_3,c_4\) 的四个方程，解出方程直接快速幂即可。

复杂度 \(\mathcal O(n+k2^k)\)？