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CF827E Solution

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题意：给你一个长度为 \(n\)，且某些字符残缺的字符串。试问对于每个 \(k\in[1,n]\)，是否存在一种确定残缺字符的方案，使得 \(k\) 是得到的串的周期。

周期的定义：\(k\) 是串 \(s\) 的周期当且仅当 \(\forall i\in[0,n-k-1],s_i=s_{i+k}\)。

前置知识：FFT 字符串匹配。

对于一般的字符串匹配，我们知道 \(s_i\) 和 \(t_j\) 匹配意味着 \(s_i=t_j\) 即 \(s_i-t_j=0\)。

那么 \(t\) 能够匹配 \(s\) 中以第 \(x\) 位结尾的 \(m\) 个字符当且仅当 \(\forall i\in[0,m-1],s_{x-m+1+i}=t_i\)。

接下来我们设匹配函数 \(f(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(s_{x-m+1+i}-t_i)^2\)，

若 \(f(x)=0\)，运用初中知识可得 \(\forall i\in[0,m-1],s_{x-m+1+i}=t_i\)。

要快速求多个 \(f(x)\)，我们熟练地反转串 \(t\) 得到串 \(r\)，那么

\[\begin{aligned} f(x)&=\sum_{i=0}^{m-1}(s_{x-m+1+i}-t_i)^2\\ &=\sum_{i=0}^{m-1}(s_{x-m+1+i}-r_{m-1-i})^2\\ &=\sum_{i=0}^{m-1}(s_{x-m+1+i}^2+r_{m-1-i}^2-2s_{x-m+1+i}r_{m-1-i}) \end{aligned}\]

你发现 \(s,r\) 的下标之和为 \(x\)，那么 \(f(x)\) 显然可以 FFT/NTT 快速计算。

对于这题，类似地，设万能符的值为 \(0\)，那么 \(s_i\) 和 \(s_j\) 匹配意味着 \(s_i=s_j\lor s_i=0\lor s_j=0\)。

那么 \(x\) 为周期当且仅当匹配函数 \(f(x)=0\)，其中 \(t\) 为 \(s\) 反转后的串，\(f(x)\) 为

\[\begin{aligned} f(x)&=\sum_{i=0}^{n-x-1}(s_i-s_{i+x})^2s_is_{i+x}\\ &=\sum_{i=0}^{n-x-1}(t_{n-1-i}-s_{i+x})^2t_{n-1-i}s_{i+x}\\ &=\sum_{i=0}^{n-x-1}(t_{n-1-i}^3s_{i+x}+t_{n-1-i}s_{i+x}^3-2t_{n-1-i}^2s_{i+x}^2)\\ \end{aligned}\]

到这里已经可以卷积计算。可是考虑以下情况

V ? K
  V ? K

这里的问号不能同时取 V 和 K，于是这种情况是不合法的。

注意到不合法情况的 \(k\) 均小于 \(\frac n 2\)（问号重叠）。

我们知道周期有性质：若 \(k\) 是字符串 \(s\) 的周期，则 \(k\) 的所有倍数都为 \(s\) 的周期。

具体地，如果 \(k\) 是 \(s\) 的周期，那么我们有 \(\forall i\equiv j\pmod k,s_i=s_j\)。就像这样

ABCABCABCABC
   ABCABCABCABC

现在我们考虑一个周期 \(k\)，它不是合法周期但是由于万能符错误匹配导致算进了答案。比如样例1，\(k=2\)：

V??VK
  V??VK

这时我们知道 \(\forall i\equiv j\pmod 2,s_i=s_j\)。

可是一看，\(1\equiv5\) 但 \(s_1=V,s_5=K\)。

这意味着两个不相同的字符通过万能符相等了。这说明 \(k\) 的倍数中总有一个周期原先就不合法，样例中是 \(k=4\)。

V??VK
    V??VK

thus，由于万能符错误匹配导致多算的周期一定有一个倍数是不合法的。

那么想要删去这些错误匹配的漏网之鱼，我们只需要枚举所有合法周期 \(k\) 的倍数 \(\lambda k\)，检验它们是否都为合法周期，如果有不合法的那么 \(k\) 就是漏网之鱼。

由于漏网之鱼的长度小于 \(\frac n 2\)，因此它一定存在不合法的倍数。

复杂度线性对数。