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ABC231 Solution

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C - Counting 2

可以离线排序，也可以排序直接 lower_bound。

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D - Neighbors

首先一个人不可能与超过 \(2\) 人相邻。

检查完这个，每个人的度数都小于等于 \(2\)。我们再检查一下是否有环即可。

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E - Minimal payments

从小到大考虑面值。如果现在需要凑 \(x\) 元，\(x\) 的零头一定是有当前最小的面值付的。

例如样例，凑出 \(87\) 要么凑 \(90\) 再用 \(1\) 元凑 \(3\)，要么凑 \(80\) 再用 \(1\) 元凑 \(7\)。

这样每次只会有两种策略，直接搜即可。

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F - Jealous Two

题意就是给两个数组 \(a,b\)，求有多少个无序对 \((i,j)\) 满足 \(a_i\le a_j,b_i\ge b_j\)。

这个显然直接树状数组二维数点即可。

（*2000，数据结构）

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G - Balls in Boxes

这个和 CF891E 是一个题。之前没写推导，来写写吧。

要求 \(n\) 个数的期望乘积，这个难以直接计算。考虑求出所有情况的和最后除以 \(n^k\)。

套路地，因为 \(k\) 次操作无序，我们尝试把每个数单独拉出来做 EGF，乘在一起求 \(k\) 次项系数即可。

也就是说，每个数的 EGF \(i\) 次项系数应该是这个数被操作 \(i\) 次后的结果。

那么单个 EGF 就是

\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^\infty (b + i)\frac{x^i}{i!} &=\sum_{i=0}^\infty b\frac{x^i}{i!}+\sum_{i=0}^\infty i\frac{x^i}{i!}\\ &=be^x+\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{(i-1)!}\\ &=(b+x)e^x \end{aligned}\]

要求的即为

\[[x^k]\prod_{i=1}^n(b_i+x)e^x=[x^k]e^{nx}\prod_{i=1}^n(b_i+x) \]

\(\prod\) 右边的直接分治乘，由于乘出来的东西是 \(n\) 次的，\(k\) 次项系数就直接 \(O(n)\) 卷就好了。

（*3000，数学）

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H - Minimum Coloring

首先建 \(H\) 个点表示 \(H\) 列，\(W\) 个点表示 \(W\) 行。

然后对于每个白色块，连接它的行和列，边权为这个点的权值。

这样原问题转化为在一个二分图中，找出权值最小的边集，它覆盖了所有点。

考虑网络流，对于原来的每一条边 \((x,y,c)\)，建一条 \((x,y)\)，流量为 \(1\) 费用为 \(c\)。

为了保证每个点都有流量经过，从源点连向所有左部点，流量为 \(1\) 费用为 \(-B\)。这里 \(B\) 是一个很大的数，但不能太大，因为最后要参与计算。

同理所有右部点连向汇点，流量为 \(1\) 费用为 \(-B\)。

但是每个点可能被很多条边覆盖，于是到每个点的流量可能不止 \(1\)。

为了补充流量，我们从源点连向所有左部点，流量为 \(\infty\) 费用为 \(0\)，所有右部点连向汇点，流量为 \(\infty\) 费用为 \(0\)。

到这里会出现一个问题，mcmf 是优先算最大流的，于是可能会出现二分图之间的边全部流满的情况。

于是我们加一些从左部点到汇点的边，流量 \(\infty\) 费用 \(0\) 让多余的流量流走即可。

（*2800~3000，建模）