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ABC212 Solution

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C - Min Difference

把 \(b\) 排序，枚举 \(a\) 数组每个数，直接在 \(b\) 里面 lower_bound 更新答案即可。

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D - Querying Multiset

随便怎么写个堆或者平衡树都可以。

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E - Safety Journey

设 \(dp_{x,y}\) 表示走 \(y\) 步到 \(x\) 的方案数。

转移的话把所有不和它断开边的点的 \(dp\) 值加过来就好了。

这个可以优化，我们改成上一层所有 \(dp\) 值的和减去和它断开边的点的 \(dp\) 值。减号前面可以每次记录。

复杂度 \(\mathcal O(nm)\)，建议滚掉 \(dp\) 第一维。

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F - Greedy Takahashi

记录每趟 bus 走 \(2^k\) 趟 bus 到的 bus，询问直接跳即可。好像要分一些类。

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G - Power Pair

先判掉 \(x=y=0\)，那么现在 \(x,y\in[1,p-1]\)。设 \(p\) 的一个原根为 \(r\)。

因为 \(r^1\sim r^{p-1}\) 不重复地取遍 \(1\sim p-1\) 这 \(p-1\) 个数，对于 \(x,y\)，可以找到唯一的 \(a,b\) 满足 \(x=r^a,y=r^b\)。

原式化为 \(r^{an}\equiv r^b\pmod p\)，即 \(an\equiv b\pmod{p-1}\)。

现在要计数满足条件的 \((a,b)\) 使得存在 \(n\) 满足上式。

固定 \(a\)，如果 \(\gcd(a,p-1)=1\)，满足条件的 \(b\) 显然有 \(p-1\) 个。

否则我们除掉这个 \(\gcd\)，满足条件的 \(b\) 的数量当然也要同时除掉这个 \(\gcd\)。

那么一个 \(a\) 满足条件的 \(b\) 的数量就是 \(\frac{p-1}{\gcd(a,p-1)}\)。

要求的即为

\[\begin{aligned} \sum_{a=1}^{p-1}\frac{p-1}{\gcd(a,p-1)}&=\sum_{d|n}\frac n d\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=d]\\ &=\sum_{d|n}\frac n d\sum_{i=1}^{\frac n d}[\gcd(i,\frac n d)=1]\\ &=\sum_{d|n}\frac n d\varphi(\frac n d)\\ &=\sum_{d|n}d\varphi(d) \end{aligned}\]

这里的 \(\varphi\) 可以搜索一下递推出来，但是直接根号求也可以过。怎么都比官方题解的 \(\mathcal O(d^2(p-1))\) 快多了。

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H - Nim Counting

把 \(a\) 数组存到桶里，做 \(m-1\) 次自异或卷积得到的常数项即为挑 \(m\) 个数异或和为 \(0\) 的方案数。

现在要求 \(m\) 取 \(1\sim n\) 的方案数和，我们设原多项式（桶）为 \(F\)，要求的即为

\[[x^0]\sum_{i=1}^nF^i \]

直接等比数列求和带走就好了（应该？没写）。