线性代数矩阵
为什么用矩阵？
矩阵是一种很好的统计与调差的方法，用于理清复杂的关系图
| 行列式 | 矩阵 | |
|---|---|---|
| 本质 | 一个数值 | 一个数表 |
| 符号 | | | | [ ] 或（ ） |
| 形状 | 行数=列数，是一个方阵 | 形状是长方形 |
矩阵的几种类型：
- 实矩阵：数表中全为实数的矩阵
- 复矩阵、零矩阵、负矩阵
- 行矩阵：数表只有一行数
- 列矩阵
- 单位矩阵 符号E或I 主对角线为1的方阵
- 同型矩阵：两个或两个以上的矩阵的行列数相同 //零矩阵不一定是同型矩阵
矩阵的运算，结果都是一个矩阵
加法减法：
两个矩阵的对应位置相加即可 这里要求两个矩阵是同型矩阵
数乘：
用一个数乘上矩阵等于 用这个数乘上矩阵的所有元素
矩阵的乘法：
第一个矩阵的每行乘上第二个矩阵每列，结果相加，作为新矩阵的一个元素
矩阵乘法的前提：
- 第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
- 结果矩阵的形状 行数 = 第一个矩阵的行数 列数 = 第二个矩阵的列数
- 因此 A*B 有效不代表B *A有效，除非两者是可交换的
矩阵的幂运算：
A^k = A *A *A *A... A^0 = E
矩阵的转置：
将矩阵行列互换
(A+B)T = AT + BT
如何求秩，关于秩的概念
1.k阶子式概念 ：
一个矩阵中由k行与k列的长度组成的子矩阵
2.
~ 这个符号表示经过初等变换 A通过初等变化变成B后，两者的最高阶子式的阶数相同
3.秩的概念：
非零子式的最高阶数就是秩
4.求秩：
可以利用行阶梯法求秩
- 对于一个矩阵，进行一系列初等变化后变为行最简形，通过以每行0为节点画阶梯，阶数就是秩
- 当化简后某行全为0，说明该矩阵的该阶子式值为0，不是该矩阵的最高阶子式
- 若矩阵的某阶子式为0，那么更高阶的子式也为0
5.满秩矩阵：
最高阶子式的秩与方阵的阶数相等
- 若针对非方阵，分为行满秩与列满秩
- 行满秩指最高阶子式的秩与矩阵的行数相等
- 一般的可逆矩阵是满秩矩阵
6.降秩矩阵（奇异矩阵）
- 与满秩矩阵相反，是不满秩矩阵
7.秩的基本性质
- 矩阵的初等变化不会改变秩 若A~B 则R(A) = R(B)
- 可逆矩阵的秩相同
