积性函数与线性筛

积性函数与线性筛

积性函数

定义

\(\forall a,b\) 互质，有 \(f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)\) 的函数 \(f(x)\) 为积性函数

常见的积性函数

\(d(n)\)：\(n\) 的正因子数目

\(\sigma(n)\)：\(n\) 的所有正因子之和

\(\varphi(n)\)：欧拉函数

\(\mu(n)\)：莫比乌斯函数

性质

可以通过 \(f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)\) 来线性筛

积性函数的线性筛

所有积性函数线性筛的基础是线性筛素数

线性筛素数

inline void get_prime(){
	not_p[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!not_p[i]) pri[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N;++j){
			not_p[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}

线性筛欧拉函数 \(\varphi\)

inline void get_phi(){
	phi[1]=1;
    not_p[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!not_p[i]){
			p[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;++j){
			not_p[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			else
				phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
}

线性筛莫比乌斯函数 \(\mu\)

inline void get_mu(){
	mu[1]=1;
    not_p[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!not_p[i]){
			p[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;++j){
			not_p[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			else
				mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
}