Codeforces 1202D 思维 构造
题意
- 每组数据给我们一个n,然后要求我们用{1, 3, 7}这三种字符来组成一个长度小于1e5的序列,要求其中为1337的子序列(不要求相邻)的数量恰好为n
思路
-
首先可以考虑最简单的一种构造方式,开头为133,后面接n个7,这样一定是正确的,但是长度会超过限定
-
我们注意到上面那种方法,每增加一个7,1337子序列数量会增加1,增加速度比较慢,所以我们寻找一种新的“逼近n”的增长方法——也就是每增加一个7,1337的数量增加量为一个变量
-
因为7前面是3,我们考虑增加3的数量之后,再逐个增加7的数量
-
我们发现,如果在增加的一个7前方有m个3,则1337子序列增加量为
\[m * (m - 1) / 2
\]
-
这里其实也就正好达到了我们之前提到的目的,让每次增加量为变量,我们可以假设一开始1后面有无数的3,然后我们从这些3中间插入7,每次插入的贡献值显然就是由上面的式子来算出。我们设为 \(f(m)\)
-
那么如何使得我们插入的k个7的贡献值的和为n?,也就是
\[\sum_1^k{f(a_i)} = n
\]
(a_i为每次加入7时前方的3个数)
-
我们可以对n 不断减去小于等于它的最大f(m)(如果为了容易思考,可以使用二分逼近),同时记录这个m,直到n等于0。这样,我们也就得到了上面的a_i
-
之后将a_i从小到大排列,不断输出补充3达到对应的a_i数量,然后结尾加上7,将所有a_i操作完之后,答案也就构造完毕了。
AC代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long n;
int t;
long long aa[100005], co = 0;
long long search(long long x)
{
long long l = 2, r = x * 2;
while (l + 5 <= r)
{
long long mid = (l + r) >> 1;
if ((mid - 1) * mid / 2 <= x)
{
l = mid;
}
else
{
r = mid - 1;
}
}
while ((l - 1) * l / 2 <= x)
{
++l;
}
return l - 1;
}
int main()
{
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
co = 0;
scanf("%lld", &n);
printf("1");
while (n)
{
long long x = search(n);
aa[++co] = x;
n -= x * (x - 1) / 2;
}
int ll = 0;
for (int i = co; i >= 1; --i)
{
while (ll < aa[i])
{
printf("3");
++ll;
}
printf("7");
}
printf("\n");
}
return 0;
}