POJ 1061 青蛙的约会

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

浙江

 

 

 

解析：扩展欧几里得。相关知识可参见欧几里得与扩展欧几里得算法。

根据题意，易知 (x+m·t) - (y+n·t) = k·L（t 为跳跃次数，k·L 为两只青蛙相遇时跳跃的路程之差）

转化一下，则有 (n-m)·t+L·k = x-y。

令a = n-m, b = L, c = x-y，则 a·t+b·k = c。

令 g = gcd(a, b), a₀ = a/g, b₀ = b/g，则有，a₀·t₀+b₀·k₀= g。

用扩展欧几里得进行求解得到t_0，则 t = t₀·c/g，但得到的 t 可能为负数，因此最终结果ans = (t₀·c/g%b+b)%b。

 

 

 

#include <cstdio>
#define ll long long

ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll q = extgcd(b, a%b, y, x);
    y -= a/b*x;
    return q;
}

int main()
{
    ll x, y, m, n, L;
    scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d", &x, &y, &m, &n, &L);
    ll a = n-m, b = L, c = x-y;
    ll g = gcd(a, b);
    if(c%g != 0){
        printf("Impossible\n");
    }
    else{
        a /= g; b /= g;
        ll t0, k0;
        extgcd(a, b, t0, k0);
        ll ans = (t0*c/g%b+b)%b;
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}