状态压缩dp浅谈

状态压缩dp

对于一个位置只有两种状态但是这样的位置有很多个的时候我们可以使用状态压缩dp来解决这种问题，状态压缩的一种直观应用就是，比如我有20栈灯摆成一排，熄灭是0，打开是1，我想表示所有的可能，其中任意一种表示一种状态，我又想简单用一个东西来表示这种状态，并且状态之间可以进行计算比如位运算，这个时候我们就可以使用01序列来表示任意一种状态，自然的我们就想到了用二进制数来表示其中的任意一种状态，对于20栈灯我们可以用0~2^21 - 1来表示所有的状态，同时状态之间是可以进行计算的。当然有人会说我可以用数组来表示各种状态，同时我们可以自己写位运算，但是用明明可以直接用cpu物理直接做的事情，你非要进行模拟，时间复杂度就会变得非常高。加法我们直接用加法器，位运算有对应的位运算器，同时判断每个位置的状态我们只需要进行位移运算即可。

对于这个题目

题目来自：acwing 291. 蒙德里安的梦想

求把 N×M 的棋盘分割成若干个1×2 的的长方形，有多少种方案。

例如当 N=2，M=4 时，共有 55 种方案。当 N=2，M=3 时，共有 3 种方案。

如下图所示：

输入格式

输入包含多组测试用例。

每组测试用例占一行，包含两个整数 N 和 M。

当输入用例 N=0，M=0 时，表示输入终止，且该用例无需处理。

输出格式

每个测试用例输出一个结果，每个结果占一行。

数据范围

1≤N,M≤11

输入样例：

1 2
1 3
1 4
2 2
2 3
2 4
2 11
4 11
0 0

输出样例：

1
0
1
2
3
5
144
51205

分析：我们可以列举横向的矩形的可能，同时满足这每种可能都需要我能竖着在空白的地方放入矩形，以同一行前一列的状态判断本列的这个状态是否合法，从而得到做种的结果

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 12, M = 1 << N;

long long f[N][M];//f[i,j] 的意义是第i列，第j状态（j为二进制数，1代表同一行从前面延申过来的横放状态）
bool st[M];

int n, m;
int main()
{
    while (cin >> n >> m, n || m)
    {

        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )//预处理所所有01序列的合法情况和非法情况，即不能有连续奇数个0
        {
            int cnt = 0;//记录连续0的个数
            st[i] = true;
            for (int j = 0; j < n; j ++ )
            {
                if (i >> j & 1)
                {
                    if (cnt & 1) st[i] = false;
                    cnt = 0;
                }
                else cnt ++ ;
            }
            if (cnt & 1) st[i] = false;//cnt最后记录的是后缀0的个数
        }
        
        memset(f, 0, sizeof f);
        
        f[0][0] = 1;
        
        for (int i = 1; i <= m; i ++ )
        {
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ )
            {
                for (int k = 0; k < 1 << n; k ++ )
                {
                    if((j & k) == 0 && st[j|k])//当前列同行上一个位置是空的，且前一列个位置状态k填上本列的位置状态j后不存在连续的奇数个零，才可能从同一行前一个位置延申到本列j状态
                    {
                        f[i][j] += f[i - 1][k];
                    }
                }
            }
        }
        cout << f[m][0] << endl;//当m列不能往后延申的时候是最终结果
    }
    return 0;
    
}