CF2085F2 Serval and Colorful Array (Hard Version)

Sol

下文中答案表示 \(k\) 个点到某个中心的距离之和，真正的答案需要减去 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\left|i-\left\lfloor\frac{k+1}{2}\right\rfloor\right|\)

考虑 F1 做法，假设选定一个点在 \(i\)，并且以这个点为中心，\(i\) 左边第一个颜色为 \(j\) 的位置到 \(i\) 的距离为 \(l_j\)，右边第一个颜色为 \(j\) 的到 \(i\) 的距离为 \(r_j\)。

此时最优方案一定是 \(i\) 两侧 \(l_j\) 和 \(r_j\) 各选一半。

令 \(c_j=r_j-l_j\)，将 \(c\) 排序后答案就是 \(\displaystyle\sum_{i=1}^nl_j+\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{k+1}{2}\right\rfloor}c_j\)。

时间复杂度：\(O(n^2)\)。

引理：不用考虑在 \(i\) 两侧各选一半 \(l_j\) 和 \(r_j\)，一定能统计到最优解。

证明：由仓库选址问题可知如果选的中心不在正中间那么答案一定不优，且该方案一定能统计到最优解。

那么事情就变得简单了，答案变成了 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\min(l_i,r_i)\)，感觉还是不太好做，对于每一个 \(\min(l_i,r_i)\) 观察可得每当 \(i\) 加上 \(1\)，\(\min(l_i,r_i)\) 变化的绝对值不超过 \(1\)，观察变化规律可以发现每次都是区间加一个等差数列，也就是一个二维差分，那么就做完了。

时间复杂度：\(O(n^2)\)。

Code

F1。

F2。