CF2025E Card Game

Sol

先考虑同色的有多少分配方式，注意到此时 \(m\) 只能平分，考虑把该问题转化成如下：

1. 一个点初始在 \((0,0)\)。
2. 对于每个数字，从小到大枚举，如果当前数字为先手所取，那么往右走一格，否则往上走一格。
3. 答案即为 \((0,0)\) 到 \((\frac{m}{2},\frac{m}{2})\) 的方案数，且途中不经过 \(y=x+1\) 的方案数。

这做法显然正确，对于先手拥有的权值 \(\le x\) 的卡数一定要多于对手权值 \(\le x\) 的卡数，否则显然无解。

注意到这个东西就是卡特兰数。

接下来考虑加入数字 \(1\) 之后怎么做，显然 \(1\) 可以特殊考虑每个颜色加入了几张 \(1\)，假设加了 \(t\) 张 \(1\)，那么对于前面的问题转化可以变成如下：

1. 一个点初始在 \((0,0)\)。
2. 先往右走 \(t\) 步。
3. 对于每个数字，从小到大枚举，如果当前数字为先手所取，那么往右走一格，否则往上走一格。
4. 答案即为 \((0,0)\) 到 \((\frac{m+t}{2},\frac{m+t}{2})\) 的方案数，且途中不经过 \(y=x+1\) 的方案数。

注意需要满足 \(m+t\equiv 0\pmod 2\)，这个转化与上面同理。

那么就可以考虑 DP，设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个花色（不包括 \(1\)）所用去 \(1\) 的卡片数量，那么不难得到 \(\displaystyle f_{i,j}=\sum_{k=0~\operatorname{and}~2 \mid (m+k)}^{j} f_{i-1,j-k}\times H(k)\)，其中 \(H(k)\) 为转化的问题 \(t=k\) 的答案。

最后答案就是 \(\displaystyle \sum_{k=0~\operatorname{and}~2 \mid (m+k)}^{m} f_{n,k}\times H(k)\)。

最后讲讲如何计算 \(H(k)\)。

不难求出从 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的方案数是 \(\binom(n+m,n)\)，一共 \(n+m\) 个位置，选择 \(m\) 个位置往上即可（\(n\) 个往右也同理）。

首先我们可以转化成求更加通用的从 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 不经过 \(y=x+1\) 的方案数。

那么对于任意一条经过 \(y=x+1\) 的路径，可以把路径从第一个经过 \(y=x+1\) 点位置以后的线沿着 \(y=x+1\) 反转（镜像），那么路径就会变成从 \((0,0)\) 到 \((n-1,m+1)\)。

注意到任意一条不合法的路径都可以转化成 \((0,0)\) 到 \((n-1,m+1)\) 的路径，反过来也可以对应，那么这两个东西显然是双射，所以等价，故 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 不经过 \(y=x+1\) 的方案数为 \(\binom{n+m}{n}-\binom{n+m}{n-1}\)。

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