三元环相关

对于一个简单无向图，直接暴力枚举做是 \(O(nm)\) 的，假设图上的每个点的度为 \(deg_i\)，考虑给边重定向，如果连接的两个边度不同，那么大的连小的，如果度相同，那么编号小的连达到，此时考虑暴力做，复杂度不超过 \(O(m\sqrt{m})\)，考虑证明：

1. 如果 \(deg_i\le\sqrt{m}\)，那么显然新图上出度也不会超过 \(\sqrt{m}\)。
2. 如果 \(deg_i > sqrt{m}\)，那么新图上出边所到的点，入度一定 \(>\sqrt{m}\)，所以出度也不会超过 \(\sqrt{m}\)。

注意到总的复杂度即为每条边的重点的出度之和，显然为 \(\sqrt{m}\)。

应用：证明了无向图的三元环数量为 \(m\sqrt{m}\)，对于某些三元题可以注意边数来处理问题。

例题：P4619。