9月杂题

想了想以后的笔记不必写得太复杂，把解题精髓记下就可以了，这样也方便复习。

P6880 [JOI 2020 Final] オリンピックバス

直接枚举翻转的边然后跑最短路复杂度爆炸，但考虑一个不在 \(1\) 到 \(n\) 以及 \(n\) 到 \(1\) 最短路上的边的答案其实是好算的：建出以 \(1\) 为起点的最短路树，以 \(n\) 为起点的最短路树，再在反图上建出上面两种树即可计算；在最短路上面的暴力。

BZOJ3694 最短路

套路地，计算每条边的删边最短路，考虑枚举一条非树边，计算包含其到某个点的答案并用其更新树上对应链上的答案。

拆贡献，需要解决多次链 chkmin 的操作，最后输出每条边的权值。这个问题可以对操作按权值排序后每次暴力跳用并查集合并来解决。

P4308 [CTSC2011] 幸福路径

倍增，设 \(f_{t,i,j}\) 为从 \(i\) 到 \(j\)，走了 \(2^t\) 步的最大收益，类似 Floyd 转移。

CF1100E Andrew and Taxi

显然二分，现在问题是检查这张有向图能否通过只改权值 \(\le mid\) 的边的方向使其无环。

\(\le mid\) 的总可以定成无环，故将权值 \(>mid\) 的边建图跑拓扑排序，如果有环就无解，否则，枚举 \(\le mid\) 的边查看两端拓扑序来定向。

P1954 [NOI2010] 航空管制

建图跑出每个点真实的 \(k\) 是多少，第一问即将 \(k\) 值从大到小依次考虑倒序安放。第二问相当于考虑 \(i\) 时，拓扑序在 \(i\) 之前的都要早飞，那么将拓扑序在这之后的按 \(k\) 值从大到小安放，最后一个空出来的位置就是 \(i\)。

P7624 [AHOI2021初中组] 地铁

设环长为 \(C\)，随后建图跑差分约束查看是否有无负环（有无解）。

但本题需要求 \(C\) 的合法解个数，注意到其一定是一个区间，那么我们考虑二分，但是如果当前 \(mid\) 不合法是要变小还是变大呢？可以查看负环中 \(C\) 的系数，为正即要变大，为负即要变小，为零就与 \(C\) 无关，原问题无解。

P2272 [ZJOI2007] 最大半连通子图

注意到题目所说的最大半连通子图即原图 SCC 缩点后由 SCC 组成的最大的链，直接 DP 即可。

S15.24.11.3. 都是假的

行与列显然独立，考虑只有一行怎么做。发现如果切成 \(x\) 段合法，切成 \(p\) 段也合法，那么切成 \(x\times p\) 段也合法（\(\gcd(x,p)=1\)），也就是积性函数。

那么快速判断切成 \(x\) 段合法的方法可以类似字符串判周期的方法用一次询问，但这道题要求无交，就只能奇数问两次，偶数问三次。

P5975 [CEOI2009] photo

注意到矩形一定互不相交，于是区间 DP：\(f_{i,j,k}\) 为考虑横坐标 \([i,j]\)，纵坐标都在 \(k\) 之上，转移考虑将 \([i,j]\) 切两边或者放一个最大的矩形从更小的高度转移过来。

P5369 [PKUSC2018] 最大前缀和

观察最大前缀和的性质后状压 DP。

P3959 [NOIP2017 提高组] 宝藏

按深度分层状压 DP。

[ARC106E] Medals

Hall 定理后状压 DP。

CF1773G Game of Questions

注意到 问题 被重复选择不会让局势变化，故只用状压在场的人。

CF1726E Almost Perfect

将排列画成置换环，那么这个环必须满足一条边两端点编号差 \(\le 1\)，那么就只可能是一、二、四元环。

CF1842G Tenzing and Random Operations

将一次操作对答案的影响，拆成每个元素可以使用的资源。

CF1574F Occurrences

观察序列 \(a\) 满足的要求相当于包含 \(A_i\) 中一个元素，就必须包含 \(A_i\) 的所有元素并且还满足顺序，进而建图后跑总量一定的完全背包。

CF1765C Card Guessing

通过固定花色转移，记录花色最小的牌数量。

[ABC262Ex] Max Limited Sequence

区间极值限制 DP，将每个上界 \(x\) 拆成区间内至少一个 \(=x\)，全都要 \(\le x\)。设 \(f_{i,j}\) 考虑位置 \(i\)，离 \(i\) 最近的 1 位置为 \(j\) 来转移来避免容斥。

P7606 [THUPC2021] 混乱邪恶

转移相当于平面游走，可以通过随机打乱来限制范围。

CF1909F2 Small Permutation Problem (Hard Version)

将排列作为 \((i,p_i)\) 画在平面上，那么相当于在两个 \(a_i\ne 1\) 的 L 形区间内放一些互不攻击的车，容斥 DP。

[AGC060C] Large Heap

只有极左链上的点和极右链上的点，那么 DP 当前放数放到了极左链的 \(i\) 层，极右链的 \(j\) 层。

CF1730F Almost Sorted

将排列 \(q\) 后查看 \(p_{q_i}\) 看作对 \(p\) 重排。观察题目对 \(p\) 的要求后发现 DP 时只用关心最小未填的数 \(i\) 和 \([i,i+k]\) 的填入情况。

CF1174E Ehab and the Expected GCD Problem

分析前缀 GCD 种类数的性质，发现开头的数是关键的，他必须含有的质因子非常多，即只能由很多 \(2\) 和最多一个 \(3\) 组成，于是 DP 时记录 2 与 3 的个数。

CF1799G Count Voting

容斥 DP，妙处在于多重排列的计算，可以把分母拆掉放到 DP 转移的过程中。

CF1559E Mocha and Stars

看见 \(\gcd=1\) 想到容斥，于是容斥每次都做一遍背包，因为每一次的容量组成的是调和级数所以对了。

CF1781F Bracket Insertion

括号这种东西想到将 \((\) 设为 \(+1\)，\()\) 设为 \(-1\)，那么合法当且仅当最小前缀和为 \(0\)。于是记录最小前缀和后区间 DP。

P10813 【MX-S2-T4】换

刻画一个序列是否被排序：枚举数 \(x\)，将序列中 \(\le x\) 的置为 \(0\)，\(>x\) 置为 \(1\)，那么对于每一个数 \(x\)，这个 01 序列都有序，那么就是排好的。从小到大扫描 \(x\) 的过程是全 0 变为全 1 的过程，DP 记录这个 01 序列。

CF21D Traveling Graph

无向图有欧拉回路等价于每个点度数为偶，状压为度数奇数的点。

[AGC013E] Placing Squares

平方的组合意义：有顺序选出两个元素（可以是一个）的方案数。于是 DP 记录没选/选了第 1 个/选了第 2 个。

P4827 [国家集训队] Crash 的文明世界

使用斯特林反演，注意到 \(f_{x,j}=\sum_{i\in x}C^i_{dis(i,x)}\) 可以换根：\(C^i_{dis(i,x)}=C_{dis(i,x)-1}^i+C_{dis(i,x)-1}^{i-1}\)。

CF1327F AND Segments

拆位后就是 [ABC262Ex] Max Limited Sequence 的最小值版本。

CF1580B Mathematics Curriculum

看到最大值想到笛卡尔树，题意转换为在笛卡尔树上深度为 \(m\) 的元素恰好有 \(k\) 个。

P6326 Shopping

点分治，树上依赖性背包。

[ARC184B] 123 Set

画出数表，选数就是相当于用一个「 形来覆盖数表，用状压 DP。

[ARC160F] Count Sorted Arrays

同 MXOI 换。

CF1830D Mex Tree

点权为 0/1 的 mex，可以转换成颜色——拥有不同颜色的路径的权为 2，否则为 0/1，这启发我们维护树上颜色块，又通过计算答案下界来优化。

CF1750F Majority

考虑一个不合法的 S 最后会变成什么，一定是一段 1 一段 0 交替，并且一段 0 的长度一定大于左右两端 1 长度的总和，于是面向结果 DP 出不合法的序列个数。

CF1179D Fedor Runs for President

添加边 \((x,y)\) 后对答案的贡献，随后 DP 算出 \(f_x\) 为 \(x\) 子树以 \(x\) 为起点的路径最大贡献，于是对于一个节点枚举两个儿子的最大路径拼成环，再对此斜率优化。

Abnormal Permutation Pairs (hard version)

看到字典序，想到枚举 LCP，然后 DP 记录从后往前填的排列的阶数以及两个序列逆序对的差值，转移枚举两个数表示新加入的数。DP 优化：注意到转移只考虑第二维的差值于是转移变成枚举差值。

Chemistry Lab

元素之间可以随意组成，想到画到平面上，则两个元素的连边全都是可以选的点，且最终是凸包，于是 DP 这个凸包，但我们不用记录斜率因为不合法的转移都不优。

P6669 [清华集训2016] 组合数问题

考虑 Lucas 定理，相当于在 \(k\) 进制下对 \(n,m\) 拆位，对应每一位计算组合数再相乘，而最终为 \(0\) 相当于其中至少一个组合数为 \(0\)，数位 DP。

[ABC240Ex] Sequence of Substrings

类似最长上升子序列的转移，但注意到一个元素超过 \(\sqrt{2n}\) 就必定不优。

CF1292C Xenon's Attack on the Gangs

给树上边分配 \([0,n-2]\) 的权值来最大化 mex 相关，这里的 mex 也可以拆贡献。

CF1016F Road Projects

将树看作从 \(1\) 到 \(n\) 的链上挂着一些子树。

P2481 [SDOI2010] 代码拍卖会

将数位不降的数，每一个数位写成与其大小相等的 \(1\) 的个数组成的数，然后横着就变成一堆 \(111\dots111\) 相加，因为其模 \(p\) 有循环节所以好 DP 了。