关于树状数组

前言

　　前端时间在网上看了很多树状数组的讲稿，但是很多东西都不能一下子理解。试着把关于这个数据结构的东西梳理成博客来加深理解和记忆。

基本概念

　　树状数组就是把原本的序列换一种方式存储，从而在保留原始值（可查询）的同时，优化更改和询问的时间复杂度。

　　至于如何构造，先放张（被大家广泛使用的）图好了！

 

 

其中，C为我们所使用的树状数组，A为输入的数组，有：

C[1]=A[1], C[3]=A[3], C[5]=A[5], C[7]=A[7];

C[2]=C[1]+A[2],C[6]=C[5]+A[6];

C[4]=C[2]+C[3]+A[4] (=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]);

C[8]=C[4]+C[6]+C[7]+A[8] (=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8]).

这样一看是有明显的规律的，但是不好表述，那么我们根据其原理，将下标转化为2进制，就会好理解很多。

十进制	1	2	3	4	5	6	7	8
二进制	1	10	11	100	101	110	111	1000
（）2下末尾1	1	2	1	4	1	2	1	8
原x个数的和	1	2	1	4	1	2	1	8

 

 

 

 

因此，树状数组本身已经给我们提供了一种O(log n)的求前缀和的方法。

即，sum(A[1]..A[x])=将x转化为2进制后，各位1表示大小的C[ ]值相加。

那么如何实现这点，这里引入了lowbit函数，即返回一个数二进制最后的“1”所表示的数大小。

常用的两种lowbit函数如下：

int lowbit(int x){
    return(x&(-x));
}

int lowbit(int x){
        return(x-x&(x-1));
}

void query(int x){
    int sum=0;
    for(;x>0;x-=lowbit(x))sum+=c[lowbit(x)];
}

而我们需要用到树状数组，主要还是为了实时修改更新的复杂度（以及较低的代码复杂度）。因此当我们要对某个结点进行单点修改时，还需要修改在前缀和中包含此节点的一些结点的值。

也即，以修改a[5]为例，我们需要维护c[5],c[6],c[8]。

转化为二进制可能可以看得更加清晰：

c[1001]--->c[1010]---->c[10000]。

对于每一位1，我们先维护它本身，然后x+=lowbit(x);（满足x<=n）

void modify(int x,int delta){
    while(x<=n){
        c[x]+=delta;
        x+=lowbit(x);
    }
}

区间查询则可以直接用前缀减代换，即sum[l][r]=sum[r]-sum[l-1]

 

TBC.