2022/6/27随笔

//P1249 最大乘积
//数论+贪心+高精度

P1249 最大乘积 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

数论蒟蒻，无从下手
洛谷上大佬的题解：
用贪心和数论来找规律，最后使用高精度乘法

我们尽可能的把n分成更多份（都大于1）那样乘积最大

对于余数：从大数开始向前，依次分配1

例如15：s=2+3+4+5+6刚好大于15，s-15=5，所以把5去掉。

又例如13：s=2+3+4+5刚好大于13，s-13=1,所以去掉2，并把5加1，即3 4 6。

我们分出来了2,3,4......n这n-1个数然后余数是K（1<=K<=n）。
1、如果K==n,我们需要进行两轮分配，意思是从n分配到2还剩下1（我们有n-1个数，），需要再回去把1分配给最大的数（也就是n+1）最终得到3,4,5......n+2这也就应对了上文题解中的情况2；
（即：全部加上一轮后，还余下1，加给最大项即可）
以例5：n-1项加一轮后：3，4，5，此时还余1，给最大项，即：3，4，6（同上述面方法的结果）

2、如果K<n，我们进行一轮分配就好因为我们的余数是K，那么分配到n+1-K就停止了，
拿15举例，先分配出了2,3,4,5余1，我们分配到5就停止了，（n+1-K=5）。
对于上篇题解他先分配出2,3,4......n,n+1。因为我们分出来n-1个数余数是K，而分配出n+1后会造成数不够，还差n+1-K,那么这也就对应前两行我们推导出的结果，去掉n+1-K,就相当于分配到了n+1-K，应为n+1-K经过分配后变成了，n+2-K，这不就相当于去掉了吗。所以这相当于找规律了。
若：2，3，4……n-1(4)余K(6)，先分配到n+1:2,3,4……n+1（6）多n+1-K（5）
去掉n+1-K（5）的对应项

最后总结：
把数字（num）拆分成s=2……n-1，从第n项开始，num-s>0，记录n-1项的余数为K
先用余数进行第一轮加值（从大向小加），若第一轮后仍然有余数，则全部加给最后一项
得到字符串后，进行高精度乘法
注意：当n小于5时，本身就是最优解

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=500;
//高精度乘法 
string mul(string a,string b)
{
    string s;
    int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();
    fill(na,na+L,0);
    fill(nb,nb+L,0);
    fill(nc,nc+L,0);
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';
    for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
    for(int i=1;i<=La;i++)
    {
        for(int j=1;j<=Lb;j++)
        {
            nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];
        }
    } 
    for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
    {
        nc[i+1]+=nc[i]/10;
        nc[i]%=10;
    }
    if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';
    for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
    {
        s+=nc[i]+'0';
    }
    return s;
 }
 //把整形转换为字符串 
string f(int a)
{
    char ch[10],t;
    int i=0;
    int j;
    while(a)
    {
        ch[i]=a%10+'0';
        a/=10;
        i++;
    }
    ch[i]='\0';
    for(i=i-1,j=0;j<=i/2;j++,i--)
    {
        t=ch[i];
        ch[i]=ch[j];
        ch[j]=t;
    }
    return ch;
}

int n,a[1005];
string s[1005];
int c=1;
 int main()
 {
     string m="1";
     cin>>n;
     //特判，如果n小于5，自己本身就是最优解 
     if(n<=4)
     {
         cout<<n<<endl<<n;
         return 0;
      }
     for(int i=2;i<=n;i++)
     {
         if(n>=i)
         {
             n-=i;
             a[c++]=i;
             s[c-1]=f(i); 
        }
        else 
        break;
     }
     //如果有余数，从最高位开始加一 
     for(int i=c-1;i>=1;i--)
     {
         if(n>0)
         {
         a[i]++;
         s[i]=f(a[i]);
         n--;
        }
     }
     //分过一轮后，如果还多，就让最后一个数加一，余数<=n
     if(n>0)
     {
         a[c-1]++;
         s[c-1]=f(a[c-1]);
     }
     //高精度加 
     for(int i=1;i<c;i++)
     {
         //输出分出的整数 
         cout<<a[i]<<" ";
         m=mul(s[i],m);
     }
     cout<<endl<<m;
     return 0;
 }

 

 //P1226 【模板】快速幂||取余运算

复习一下模板

P1226 【模板】快速幂||取余运算 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

若幂指数不为0，幂指数变为原来的一半，基数等于基数的平方

计算所有幂指数为奇数项的乘积。

使用位运算提速

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll quick(ll base,ll power,ll c)
{
    ll r=1;
    while(power>0)
    {
        if(power&1)
        {
            r=r*base%c;
        }
        power>>=1;
        base=base*base%c;
    }

    return r;
}
int main()
{
    ll a,b,c;
    cin>>a>>b>>c;
    cout<<a<<"^"<<b<<" "<<"mod"<<" "<<c<<"="<<quick(a,b,c)<<endl;
    return 0;
}

//P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数

//数论+快速幂+高精度

 

 P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

1、输入

2、计算长度，使用数学函数log10()

3、借助高精度乘法（整形）与快速幂结合，求值（只计算后五百位）

4、按题意减一

5、输出500位，50个一行

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int r[1005],base[1005],t[1005];
int n;
void result_1()
{
    memset(t,0,sizeof(t));
    for(int i=1;i<=500;i++)
    {
        for(int j=1;j<=500;j++)
        {
            t[i+j-1]+=base[i]*r[j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=500;i++)
    {
        t[i+1]+=t[i]/10;
        t[i]%=10;
    }
    //把t的值赋给r,cstring库里的函数 
    memcpy(r,t,sizeof(r));
}
void result_2()
{
    memset(t,0,sizeof(t));
    for(int i=1;i<=500;i++)
    {
        for(int j=1;j<=500;j++)
        {
            t[i+j-1]+=base[i]*base[j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=500;i++)
    {
        t[i+1]+=t[i]/10;
        t[i]%=10;
    }
    memcpy(base,t,sizeof(base));
}
int main()
{
    cin>>n;
    //log10的返回值位double 
    cout<<(int)(log10(2)*n+1)<<endl;
    base[1]=2;
    r[1]=1;
    //只计算500位 
    while(n)
    {
        if(n&1)
        result_1();//奇数项相乘 
        n>>=1;
        result_2();//底数等于底数的平方 
    }
    r[1]--;//题目要求 
    for(int i=500;i>=1;i--)
    {
        if(i%50==0&&i!=500)
        //先换行再输出，初始值为500，500-551是50个数了 
        cout<<endl<<r[i];
        else
        cout<<r[i];
    }
    return 0;
}