2019暑期集训 - Day 23
集训队互测？什么毒瘤题目！
概述
提高 B 组
4题：T0 , T1 , T2 , T3
200/400 分
12/115 名
T0 淘汰赛制
WA 60/100 分
Description
淘汰赛制是一种极其残酷的比赛制度。 \(2^n\) 名选手分别标号 \(1,2,3,\cdots,2^n-1,2^n\)，他们将要参加 \(n\) 轮的激烈角逐。每一轮中，将所有参加该轮的选手按标号从小到大排序后，第 \(1\) 位与第 \(2\) 位比赛，第 \(3\) 位与第 \(4\) 位比赛，第 \(5\) 位与第 \(6\) 位比赛……只有每场比赛的胜者才有机会参加下一轮的比赛（不会有平局）。这样，每轮将淘汰一半的选手。 \(n\) 轮过后，只剩下一名选手，该选手即为最终的冠军。
现在已知每位选手分别与其他选手比赛获胜的概率，请你预测一下谁夺冠的概率最大。
Input
输入文件第一行是一个整数 \(n\ (1\le n\le 10)\)，表示总轮数。接下来 \(2^n\) 行，每行 \(2^n\) 个整数，第 \(i\) 行第 \(j\) 个是\(p_{i,j}\ (0\le p_{i,j}\le 100\ ,\ p_{i,i}=0\ ,\ p_{i,j}+p_{j,i}=100)\) ，表示第 \(i\) 号选手与第 \(j\) 号选手比赛获胜的概率。
Output
输出文件只有一个整数 \(c\) ，表示夺冠概率最大的选手编号（若有多位选手，输出编号最小者）。
Sample Input
2
0 90 50 50
10 0 10 10
50 90 0 50
50 90 50 0
Sample Output
1
Solution
又是 DP
可以发现，不管如何改变比赛的顺序，每个人的获胜率都是相同的，所以我们默认以正常的相邻两人比赛的方式尝试，如下图。
现在考虑如何计算答案，设 \(a[i][j]\) 为 \(i\) 对 \(j\) 的胜率， \(f[i][j]\) 为第 \(i\) 轮 \(j\) 胜出的概率。那么有：
\(f[i][j]= \sum\limits_{k} f[i-1][j] \times f[i-1][k] \times a[j][k]\)
当然， \(k\) 必须保证可能在第 \(i\) 轮与 \(j\) 比赛，即 \(k\) 从未与 \(i\) 合并。
可以通过计算枚举出来每个可能的 \(k\) 。
T1 方程的解
AC 100/100 分
Description
佳佳碰到了一个难题，请你来帮忙解决。
对于不定方程 \(a_1+a_2+\dots+a_{k-1}+a_k=g(x)\) ，其中 \(k\ge 2\) 且 $k∈N^ * $， \(x\) 是正整数， \(g(x)=x^x\ mod\ 1000\) （即 \(x^x\) 除以 \(1000\) 的余数）， \(x,k\) 是给定的数。我们要求的是这个不定方程的正整数解组数。
举例来说，当 \(k=3,x=2\) 时，分别为\((a_1,a_2,a_3)=(2,1,1)\ ,\ (1,2,1)\ ,\ (1,1,2)\).
Input
输入文件有且只有一行，为用空格隔开的两个正整数，依次为 \(k,x\) 。
Output
输出文件有且只有一行，为方程的正整数解组数。
Sample Input
3 2
Sample Output
3
Hint
对于40% 的数据， \(ans\le10^{16}\)；
对于100% 的数据， \(k\le 100\ ,\ x\le 2^{31}-1\ ,\ k\le g(x)\)。
Solution
挺简单的
先来个快速幂，算出 \(g(x)\) 。
然后就是隔板问题的模板了。
加一个高精乘，计算
$\huge\mathrm{ _ C}\small _ {g(x)-1}^{k-1} $
当然，可以再写一个高精除法来应付 \(\mathrm{C}\) 中的除法，不过有个更好的方法，就是在乘之前就约去每个除数，省了算高精除。
T2 物流运输
WA 20/100 分
Description
物流公司要把一批货物从码头 \(A\) 运到码头 \(B\) 。由于货物量比较大，需要 \(n\) 天才能运完。货物运输过程中一般要转停好几个码头。物流公司通常会设计一条固定的运输路线，以便对整个运输过程实施严格的管理和跟踪。由于各种因素的存在，有的时候某个码头会无法装卸货物。这时候就必须修改运输路线，让货物能够按时到达目的地。但是修改路线是一件十分麻烦的事情，会带来额外的成本。因此物流公司希望能够订一个n天的运输计划，使得总成本尽可能地小。
Input
第一行是四个整数 \(n\ ( 1 \le n \le 100 )\) 、\(m\ ( 1 \le m \le 20 )\) 、\(K\) 和 \(e\) 。 \(n\) 表示货物运输所需天数， \(m\) 表示码头总数， \(K\) 表示每次修改运输路线所需成本。
接下来 \(e\) 行每行是一条航线描述，包括了三个整数，依次表示航线连接的两个码头编号以及航线长度 \((>0)\) 。其中码头 \(A\) 编号为 \(1\) ，码头 \(B\) 编号为 \(m\) 。单位长度的运输费用为 \(1\) 。航线是双向的。再接下来一行是一个整数 \(d\) ，后面的 \(d\) 行每行是三个整数 \(P\ (1 < P < m)\) 、\(a\) 、\(b\ (1 \le a \le b \le n)\) 。表示编号为 \(P\) 的码头从第 \(a\) 天到第 \(b\) 天无法装卸货物(含头尾)。同一个码头有可能在多个时间段内不可用。但任何时间都存在至少一条从码头 \(A\) 到码头 \(B\) 的运输路线。
Output
包括了一个整数表示最小的总成本。总成本 \(=n\) 天运输路线长度之和 $+\ K\times $改变运输路线的次数。
Sample Input
5 5 10 8
1 2 1
1 3 3
1 4 2
2 3 2
2 4 4
3 4 1
3 5 2
4 5 2
4
2 2 3
3 1 1
3 3 3
4 4 5
Sample Output
32
Hint
\(1 \le n \le 100\ ,\ 1 \le m \le 20\)
Solution
DP
首先我们可以设 \(f[i]\) 表示前 \(i\) 天所花费的最小值
\(f[i]=min(f[i],f[j-1]+(i-j+1)\times L+K) (1\le j\le i)\)
什么意思呢 就是第 \(j\) 天到第 \(i\) 天走同一条路，并且这条路和第 \(j-1\) 天是不同的。
然后交给 SPFA 处理最短路 . . .
But wait a minute ，因为我们要保证第 \(j\) 天到第 \(i\) 天走的最短路是不能包括在这些天内不能经过的点的，所以我们枚举 \(j\) 的时候可以从大到小枚举，并且将第 \(j\) 天无法通过的点同 \(j+1\sim i\) 天无法通过的点塞入一个集合，并且在求最短路时判断不经过集合中的点，就可以求出从第 \(j\) 天到第 \(i\) 天经过未损坏的点从1到m的最短路了。
T3 矩阵乘法（mat）
TLE 20/100 分
Description
给你一个 \(N\times N\) 的矩阵，不用算矩阵乘法，但是每次询问一个子矩形的第 \(K\) 小数。
Input
第一行两个数 \(N,Q\) ，表示矩阵大小和询问组数；
接下来 \(N\) 行 \(N\) 列一共 \(N\times N\) 个数，表示这个矩阵；
再接下来 \(Q\) 行每行 \(5\) 个数描述一个询问： \(x_1,y_1,x_2,y_2,K\) 表示找到以 \((x_1,y_1)\) 为左上角、以 \((x_2,y_2)\) 为右下角的子矩形中的第 \(K\) 小数。
Output
对于每组询问输出第 \(K\) 小的数。
Sample Input
2 2
2 1
3 4
1 2 1 2 1
1 1 2 2 3
Sample Output
1
3
Hint
20% 的数据： \(N\le100\ ,\ Q\le1000\) ；
40% 的数据： \(N\le300\ ,\ Q\le10000\) ；
60% 的数据： \(N\le400\ ,\ Q\le30000\) ；
100% 的数据： \(N\le500\ ,\ Q\le60000\) 。
矩阵中数字是 \(10 ^ 9\) 以内的非负整数；
Solution
整体二分？二维树状数组？
浙公网安备 33010602011771号