2019暑期集训 - Day 20
\(0\) 分和 \(100\) 分的差距就是那么一丢丢 . . .
概述
提高 B 组
3题：T0 , T1 , T2
90/300 分
40/119 名
T0 旅游（travel）
RE 60/100 分
Description
ztxz16 如愿成为码农之后，整天的生活除了写程序还是写程序，十分苦逼。终于有一天，他意识到自己的生活太过平淡，于是决定外出旅游丰富阅历。
ztxz16 生活的城市有 \(N\times M\) 个景点，可以描述成一个 \(N\times M\) 的矩形，每个景点有一个坐标 \((x,y)\ (1 \le x \le N\ ,\ 1 \le y \le M)\) 以及美观度 \(A[x][y]\) 和观赏所需的时间 \(B[x][y]\) ，从一个景点 \((x_1, y_1)\) 走到另一个景点 \((x_2, y_2)\) 需要时间为它们之间的曼哈顿距离：\(|x_1 - x_2| +|y_1 - y_2|\)。
为了防止审美疲劳， ztxz16 希望观赏的景点的的美观度是严格上升的，由于不想太早回家码代码， ztxz16 希望旅游的总时间尽可能长。
Input
第一行输入两个整数 \(N, M\)；
接下来 \(N\) 行每行 \(M\) 个整数，第 \(x\) 行第 \(y\) 个整数代表 \(A[x][y]\) ；
接下来 \(N\) 行每行 \(M\) 个整数，第 \(x\) 行第 \(y\) 个整数代表 \(B[x][y]\) ；
注意，有一些 \(A[x][y]=B[x][y]=0\) ，说明这个景点已经拆除，不能游览；
Output
输出一行代表最长的总时间。
Sample Input
4 5
1 2 6 0 2
1 3 4 0 4
0 0 4 0 3
2 2 0 0 4
1 3 5 0 2
2 8 1 0 2
0 0 3 0 4
0 5 0 0 3
Sample Output
39
Hint
【样例说明】
游览顺序为 \((2,1)\to(1,5)\to(2,2)\to(4,5)\to(1,3)\)
【数据范围】
对于30% 的数据：\(1\le N\le 50 , 1\le M\le 50\)
对于60% 的数据：\(1\le N\le 300 , 1\le M\le 300\)
对于100% 的数据：\(1\le N\le 1000 , 1\le M\le 1000 , 0\le A[x][y]\le 1000000 , 0\le B[x][y]\le 10^9\)
注意：本题输入数据较大，请注意输入消耗的时间
Solution
我想这可能不是正解吧
考虑 DP 思想。
如果当前位置为 \((i,j)\) ，那么对于最优方案，下一步如果到 \((x,y)\) ，那么一定不存在一对 \((p,q)\) ,使得 \(A[i][j]<A[p][q]<A[x][y]\) 因为如果存在的话，那么下一步走到 \((p,q)\) 一定会更优。
我们先按 \(A\) 值从大到小排序，然后顺着计算 \(f[i][j]\) （以 \((i,j)\) 为起点的答案）。\(f[i][j]\) 可以从所有满足上述条件的下一步 \((x,y)\) 的 \(A[x][y]\) 更新。
具体来说， \(f[i][j]=B[i][j]+\max{(f[x][y]+|x-i|+|y-j|)}\) 。
最后答案为所有 \(f\) 的最大值。
T1 做梦（dream）
WA 0/100 分
Description
ztxz16 旅游归来后十分疲倦，很快就进入了梦中。
在梦中 ztxz16 结婚生子了，他不得不照顾小宝宝。但这实在太无聊了，于是 ztxz16 会在散步。梦中 ztxz16 住在一个类似数轴的街上，数轴上的每个整点是一个街区，每个单位时间内 ztxz16 可以选择向左走一个街区或者向右走一个街区，但如果他离开家超过 \(m\) 个单位时间小宝宝会有危险，因此 ztxz16 必须在距离上次在家中不超过 \(m\) 个单位时间内回到家中。
\(n\) 个单位时间后 ztxz16 会醒来，他希望此时正好在家中。
ztxz16 想知道散步过程可能有多少种不同的散步过程。两个散步过程被认为不同，当且仅当存在至少一个单位时刻 ztxz16 选择的走向不同。
Input
第一行输入两个整数 \(n\) , \(m\) 。
Output
输出可能的散步过程数 \(\%\ 1000000007\)。
Sample Input
输入1：
4 2
输入2：
10 6
Sample Output
输出1：
4
输出2：
184
Hint
对于30% 的数据： \(2\le n\le 100\ ,\ 2\le m\le 100\)
对于100% 的数据： \(2\le n\le 10^9\ ,\ 2\le m\le 100\)
\(n\) 和 \(m\) 均为偶数
Solution、
DP \(+\) 矩阵快速幂 \(=\) 我去什么鬼毒瘤
先考虑一个问题：
计算对于 \(2\sim m\) 中每个偶数 \(x\) ，从家出发刚好在 \(x\) 步时首次回家的走法数。
设家位于原点编号为 \(0\) ，每向右一格编号 \(+1\)
令\(f[i][j]\) 代表在第 \(i\) 步时走到编号为 \(j\) 的点有多少种走法。
我们先只算第一步往右走的情况。
因为个时间单位只能往左走一步或往右走一步，所以很容易得到
\(f[1][1]=1\)
\(f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1]\)
于是我们上 DP ，求出第 \(1\sim m\) 步时走到编号为 \(0\sim \dfrac{n}{2}\) 的点有多少种走法。
那么 \(f[x][0]\times 2\) 即为从家出发刚好在 \(x\) 步时首次回家的走法数。
现在，我们回到原题。
问题是求有多少种情况使第 \(n\) 步到家，并且途中每 \(m\) 步以内必有一步回过家。
设 \(dp[i]\) 代表如果他睡 \(i\) 分钟后醒来，他能走的方案数。得到
\(\large{dp[i]=\sum\limits_{j=2}^{\min{(i,m)}}dp[i-j]\times 2f[j][0]}\ \small{(j\text{只取偶数})}\)
即枚举上一次离家的时间（ \(j\) 个时间单位以前），求和（\(\sum\)）。
答案即为 \(dp[n]\) 。
但是
这个方法有欠缺。
因为 \(n\) 可能会很大，后半部分有可能 TLE 。
所以我们考虑优化。
再观察求和的式子 \(dp[i-j]\times 2f[j][0]\)
很容易发现，这个式子与矩阵乘法很相似。
所以尝试构造一个矩阵。
套矩乘的模板，尝试构造一个如下的初始矩阵：
\(\begin{bmatrix}\ 0&0&...&0&0&2f[m][0]\ \\ \ 1&0&...&0&0&2f[m-2][0]\ \\ \ ...&...&...&...&...&...\ \\ \ 0&0&...&0&0&2f[6][0]\ \\ \ 0&0&...&1&0&2f[4][0]\ \\ \ 0&0&...&0&1&2f[2][0]\ \end{bmatrix}\)
比如 \(m=8\) 时，矩阵为 ：
\(\begin{bmatrix}\ 0&0&0&10\ \\ \ 1&0&0&4\ \\ \ 0&1&0&2\ \\ \ 0&0&1&2\ \end{bmatrix}\)
这个矩阵 \(x/2\) 次幂后，右下角的值即为 \(dp[x]\) 。
因为初始状态右下角即为 \(dp[2]\) ，如果当前已经幂了 \(x\) 次，将当前矩阵再乘以初始矩阵相当于先将算出 \(\sum_{j=2}^{\min{(i,m)}}dp[i-j]\times 2f[j][0]\ \small{(j\text{只取偶数})}\) ，然后把原矩阵右移一位，将其放在右下角。（斜着一排的 \(1\) 起到右移的作用；而求和的式子就是矩阵乘法的定义）可以发现，乘后右下角这个值这其实就是 \(dp[x+2]\) 的值。
然后用矩阵快速幂算原矩阵的 \(n/2\) 次方，得到 \(dp[2\times(n/2)]=dp[n]\) 即为答案。
T2 数数（count）
TLE 30/100 分
Description
ztxz16 从小立志成为码农，因此一直对数的二进制表示很感兴趣。今天的数学课上， ztxz16 学习了等差数列的相关知识。我们知道，一个等差数列可以用三个数 \(A,B,N\) 表示成如下形式：
\(B + A\ ,\ B + 2 \times A\ ,\ B + 3 \times A\ ,\ \cdots\ ,\ B + N \times A\)
ztxz16 想知道对于一个给定的等差数列，把其中每一项用二进制表示后，一共有多少位是 \(1\) ，但他的智商太低无法算出此题，因此寻求你的帮助。
Input
第一行输入一个整数 \(T\) 代表数据组数；
接下来T行每行输入三个整数 \(A,B,N\) ；
Output
输出 \(T\) 行，每行一个整数代表答案。
Sample Input
2
4 7 1
5 8 2
Sample Output
3
5
Hint
对于30% 的数据： \(1\le T\le 20 , 1\le A\le 10000 , 1\le B\le 10^{16} , 1\le N\le 10^3\)
对于60% 的数据： \(1\le T\le 20 , 1\le A\le 10000 , 1\le B\le 10^{16} , 1\le N\le 10^9\)
对于100% 的数据： \(1\le T\le 20 , 1\le A\le 10000 , 1\le B\le 10^{16} , 1\le N\le 10^{12}\)
Solution
类欧是什么东西，能吃么
设 \(f(a,b,c,n) = \sum\limits_{i = 0}^{n}\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\rfloor\)
如果 \(\ a\ge c \vee b\ge c\)
令 \(a = k_1c +a', b = k_2c+ b'\) , \(k_1 = \lfloor\dfrac{a}{c}\rfloor,k_2 = \lfloor\dfrac{b}{c}\rfloor\)
则原式
\(= \sum\limits_{i = 0}^{n}\lfloor\dfrac{a'i + b'}{c}\rfloor + \sum\limits_{i = 0}^{n}i\lfloor\dfrac{a}{c}\rfloor + \sum\limits_{i = 0}^{n}\lfloor\dfrac{b}{c}\rfloor\)
\(= \sum\limits_{i = 0}^{n}\lfloor\dfrac{a'i + b'}{c}\rfloor + \dfrac{n(n+1)}{2}\lfloor\dfrac{a}{c}\rfloor + (n+1)\lfloor\dfrac{b}{c}\rfloor\)
\(= f(a',b',c,n) + \dfrac{n(n+1)}{2}\lfloor\dfrac{a}{c}\rfloor + (n+1)\lfloor\dfrac{b}{c}\rfloor\)
如果 \(\ a<c\ \wedge\ b<c\)
令 \(\ m = \lfloor\dfrac{an+b}{c}\rfloor\)
则原式
\(= \sum\limits_{i = 0}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[j \le\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\rfloor]\)
\(= \sum\limits_{i = 0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m - 1}[j+1 \le\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\rfloor]\)
\(= \sum\limits_{i = 0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m - 1}[j+1 \le\dfrac{ai+b}{c}]\)
\(= \sum\limits_{i = 0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m - 1}[c(j+1)\le ai+b]\)
\(= \sum\limits_{i = 0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m - 1}[ai\ge cj+c-b]\)
\(= \sum\limits_{i = 0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m - 1}[ai> cj+c-b -1]\)
\(= \sum\limits_{i = 0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m - 1}[i>\lfloor\dfrac{cj+c-b -1}{a}\rfloor]\)
\(= \sum\limits_{j = 0}^{m-1}(n -\lfloor\dfrac{cj+c-b -1}{a}\rfloor)\)
\(= nm - \sum\limits_{j = 0}^{m-1}(\lfloor\dfrac{cj+c-b -1}{a}\rfloor)\)
\(= nm - f(c,c-b-1,a,m-1)\)
所以我们很容易可以很快用递归求出 \(f(a,b,c,n)\) 的值，时间复杂度为 \(O(\log N)\)。
再观察题目中，要求二进制数里 \(1\) 的个数，我们可以转换一下，写出一个公式
\(ans=\sum\limits_{i=0}^{63}\sum\limits_{j=1}^{N}(\lfloor\dfrac{B+A\times i}{2^{i}}\rfloor \mod 2)\)
\(=\sum\limits_{i=0}^{63}\sum\limits_{j=1}^{N}(\lfloor\dfrac{B+A\times i}{2^{i}}\rfloor -\lfloor\dfrac{B+A\times i}{2^{i+1}}\rfloor\times 2)\)
\(=\sum\limits_{i=0}^{63}(f(A,B,2^i,N)-f(A,B,2^{i+1},N)\times 2)-\sum\limits_{i=0}^{63}\lfloor \dfrac{B}{2^i}\rfloor \mod 2\)
\(=\sum\limits_{i=0}^{63}(f(A,B,2^i,N)-f(A,B,2^{i+1},N)\times 2-\lfloor \dfrac{B}{2^i}\rfloor \mod 2)\)
然后调用写好的 \(f\) 函数就行了。
GCD
gcd
最正常的欧几里得算法，求最大公约数
\(gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)\)
证明：
设 \(gcd(a,b)=d\)
令 \(a=dx\ ,\ b=dy\)
\(\because gcd(a,b)=d\)
\(\therefore gcd(x,y)=1\)
\(\therefore gcd(y,x\ mod\ y)=1\)
\(\therefore gcd(b,a\ mod\ b)=gcd(dy,dx\ mod\ dy)=d\)
扩展 gcd
已知 \(ax+by=gcd(a,b)\) ，求一组满足条件的 \(\{x,y\}\) 。
设 \(exgcd(b,a\ mod\ b)=\{x,y\}\)
则 $exgcd(a,b)={y\ ,\ x-\lfloor a/b\rfloor\times y} $
证明：
设 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)=d\)
\(\therefore bx+(a\ mod\ b)y=d\)
\(\therefore ay+b(x-\lfloor a/b\rfloor\times y)\)
\(=ay-\lfloor a/b\rfloor\times by+bx\)
\(=(a-\lfloor a/b\rfloor)y+bx\)
\(=(a\ mod\ b)y+bx\)
\(=d\)
类欧
求 \(\sum\limits_{i = 0}^{n}\lfloor\dfrac{ai+b}{c}\rfloor\)
上文已详述。
浙公网安备 33010602011771号