2019暑期集训 - Day 15
好长的题目啊，为什么每个题目都有这么多废话？？？
概述
提高 B 组
3题：T0 , T1 , T2
180/300 分
22/157 名
T0 库特的向量
AC 100/100 分
Description
从前在一个美好的校园里，有一只（棵）可爱的弯枝理树。她内敛而羞涩，一副弱气的样子让人一看就想好好疼爱她。仅仅在她身边，就有许多女孩子想和她BH，比如铃，库特，等等。不过，除却巫山不是云，理树的心理只有那个帅气高大的男孩子——恭介，这让女孩子们不得不终日唉声叹气，以泪洗面。不过恭介是那样强大而完美，根本没有办法击败他，她们也只好咬牙忍痛度日，以待反击之时。
终于，她们获得了一次机会。机智的库特利用弹道学、密码学、宇宙学的知识设计出了一个密室，可以让进入的人无法从内部打开出口。库特设计密码的过程很奇葩，是由两个用整数坐标表示的n 维向量导出的。神奇的是，对于这两个向量中的任意一个，无论如何将它的坐标打乱(例如 \((a_1,a_2,a_3)\) 变成 \((a_3,a_1,a_2)\) ），打乱后的数量积都不会比原来的两个向量的数量积小。而库特就把原来的两个向量的数量积作为了密码。现在她们只用把恭介引入就可以了。但是，好事多磨，由于她们的粗心大意，在测试密室的时候不小心把自己给关了进去，而且还带走了密码纸。在外面的铃只找到了库特写着两个打乱后的向量的草稿。哇呼~能不能解救这些萌妹子，就看你了。
Input
三行。第一行一个整数 \(N\) ，表示 \(N\) 维。
第 \(2\sim3\) 行每行 \(N\) 个整数，表示打乱后的两个向量 \((a_1,a_2,a_3,a_4,\cdots,a_n)\) , \((b_1,b_2,b_3,b_4,\cdots,b_n)\) .
Output
如题目要求，输出库特设计的密码
Sample Input
3
1 3 -5
-2 4 1
Sample Output
-25
Hint
对于50% 的数据 \(n\le 8\ ,\ |a_i|,|b_i|\le 1000\)
对于100% 的数据 \(n\le 1000\ ,\ |ai|,|bi|\le 100000\)
Solution
入门难度
不敢相信这么简单。
把 \(a\) 从小到大 sort ，把 \(b\) 从大到小 sort ，然后 \(ans=\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i\) ，没了。
很容易证明正确性，因为将任意两数互换后再相乘，结果一定比这样大。
T1 恭介的法则
TLE 60/100 分
Description
终于，在众亲们的奋斗下，最终 boss 恭介被关进了库特设计的密室。正当她们松了一口气时，这个世界却发生了天翻覆地的变化：地面开始下沉，天空开始变成血红色，海水沸腾……一幅世界末日的图景。美鱼从她手中的古籍《若山牧水诗歌集》中发现了原因：
白鸟は かなしからずや 空の青 海のあをにも 染まずただよふ 。
大（xia）意（shuo）就是狡猾的恭介在创造这个世界的时候就篡改了法则。而这个法则的起源，就是一只生死之间的猫。这个猫被关在一个黑盒子里，盒子里有两个毒气罐，如果有任意一个毒气罐被打开那么猫将会被杀死，法则也能得到纠正。然而外界能控制的仅仅是这两个毒气罐被打开的概率。假设第一个毒气罐被打开的概率为 \(\frac{1}{x}\) ，第二个毒气罐为 \(\frac{1}{y}\) （ \(x\) ,\(y\) 为正整数），那么当两个概率和为 \(\frac{1}{n!}\) 时，猫将会被莫名其妙地杀死。现在美鱼想知道，有多少对( \(x\) , \(y\) )可以让猫被莫名其妙杀死。
Input
一行，一个正整数 \(n\)
Output
一行，满足题意的( \(x\) , \(y\) )对数。
Sample Input
6
Sample Output
135
Hint
对于30% 的数据 \(n\le6\)
对于60% 的数据 \(n\le50\)
对于100% 的数据 \(n\le700000\)
Solution
我恨高精
\(\because x>0\ ,\ y>0\)
\(\therefore \frac{1}{x}>0\ ,\ \frac{1}{y}>0\)
\(\therefore x>n!\ ,\ y>n!\)
设 \(x=n!+a\)
\(\therefore \frac{1}{y}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{n!+a}=\frac{a}{(n!)^2+n!a}\)
又 \(\because y\in N_+\)
\(\therefore a|(n!)^2+n!a\)
\(\therefore a|(n!)^2\)
即解为 \((n!)^2\) 的因数个数
下面说怎么求 \((n!)^2\) 的因数个数
枚举所有 \(n\) 以内的所有质数 \(p_i\) ，然后将 \(n!\) 分解质因数为 \({p_1}^{q_1}{p_1}^{q_1}\cdots {p_h}^{q_h}\)
最后答案为 \((2q_1+1)(2q_2+1)\cdots(2q_k+1)\) （因为要求的是 \((n!)^2\) ，所以指数要乘二）
注意答案要写高精，还得很快的高精
T2 沙耶的玩偶
WA 20/100 分
Description
在美鱼和理树后援团拯救世界的同时，外表柔弱的理树也开始坚强起来，思考着离开这个世界的办法。误打误撞地，她遇上了正在教室破坏课桌打开迷宫入口的沙耶。沙耶告诉理树，这个世界的出口就是这个迷宫的出口。于是理树毫不犹豫地跟沙耶一起跳进了迷宫。在迷宫里，两个女孩子互帮互助，一会儿割绳子，一会儿泡温泉，一会儿雕冰块，跌跌撞撞地走到了终点。不出所料，终点也有一个机关在等着她们。
终点的机关是一个立着的 \(m\times n\) 的方格棋盘，在有些格子上放了一个玩偶，而有些地方直接挖了个大坑。只有取走所有玩偶才能打开出口。但是，由于奇怪的设定，理树和沙耶不能直接触碰玩偶，他们需要操纵机器人来收集它。机器人的走法很奇怪，和国际象棋的马有点像，只不过马可以走任意方向的 \(1\times 2\) 路线，它们只会由上往下走 \(r\times c\) (或 \(c\times r\) )的路线，不能回头。而机器人一旦经过一个有玩偶的格子，那个格子上的玩偶将被回收，并且在机器人离开时，那个格子会变成一个坑。理树可以把机器人放在任何一个有玩偶的格子上作为起点，也可以在任何一个有玩偶的格子回收机器人。机器人行走可以视为瞬移，只不过每一次设置新起点都会消耗1 时间。并且，有坑的格子不能落脚。
就在这个紧要关头，玩偶狂热爱好者的沙耶却流着口水智商归 \(0\) 。理树不得不转而求助你，帮忙计算出最少多少时间就能收集到所有玩偶。
Input
第一行包含 \(4\) 个整数 \(M,N,R,C\) ，意义见问题描述。接下来 \(M\) 行每行一个长度为 \(N\) 的
字符串。如果某个字符是 '.' ，表示这个地方有一个玩偶；如果这个字符是 'x' ，表示这个地
方是坑。
Output
输出一个整数，表示最短时间。
Sample Input
3 3 1 2
...
.x.
...
Sample Output
4
Hint
【样例说明】
【数据范围】
30% 的数据中， \(1\le M,N\le 4\) ， \(1\le R,C\le 3\) 。
70% 的数据中， \(1\le M\le 20\) ， \(1\le N\le 4\) ， \(1\le R,C\le 3\) 。
100% 的数据中， \(1\le M,N\le 50\) ， \(1\le R,C\le 10\) 。
Solution
二分图
还没码出来
Update :
码出来了。
将每个机器人可能走的边都丢到一个图里面，比如说样例中第一行第一列可以走到第二行第三列，就把它们连起来。
很明显，因为机器人只能往下走，所以建出来的图肯定是个 DAG 。
然后题意是求最少要走多少条路径才能走遍所有的点，即 DAG 的最小路径覆盖数。
最小路径覆盖数 \(=\) 点数 \(-\) 最大匹配数
即用玩偶数减去最大匹配数（匈牙利算法求增广路）为答案。
浙公网安备 33010602011771号