2019暑期集训 - Day 7

题目只能用变态形容

概述

提高 B 组
4题：T0 , T1 , T2 , T3
100/400 分
124/179 名

T0 直角三角形

TLE 10/100 分

Description

二维平面坐标系中有 \(N\) 个点。
从 \(N\) 个点选择 \(3\) 个点，问有多少选法使得这 \(3\) 个点形成直角三角形。

Input

第一行包含一个整数 \(N\ (3\leq N\leq 1500)\) ，表示点数。
接下来 \(N\) 行，每行包含两个用空格隔开的整数表示每个点的坐标，坐标值在 \(-10^9\) 到 \(10^9\) 之间。
每个点位置互不相同。

Output

输出直角三角形的数量。

Sample Input

Sample Output

输出1：
1

输出2：
0

输出3：
7

Solution

O2 太强了，去你的斜率优化

记录每两个点的距离， \(O(N^3)\) 遍历每种组合，勾股定理检验是否为直角三角形，再手动来个 O2 优化， AC

至于斜率优化的正解，移步大佬的博客

Update :
写出来正解了，确实是斜率优化。
sort 后搜索相同斜率，可以将时间复杂度降为 \(O(N^2\log N)\) 就能 AC 了

T1 排序

RE 90/100 分

Description

你收到一项对数组进行排序的任务，数组中是 \(1\) 到 \(N\) 个一个排列。你突然想出以下一种特别的排序方法，分为以下 \(N\) 个阶段：
　　• 阶段1 ，把数字 \(1\) 通过每次交换相邻两个数移到位置 \(1\) ；
　　• 阶段2 ，用同样的方法把 \(N\) 移到位置 \(N\) ；
　　• 阶段3 ，把数字 \(2\) 移到位置 \(2\) 处；
　　• 阶段4 ，把数字 \(N-1\) 移到位置 \(N-1\) 处；
　　• 依此类推。
换句话说，如果当前阶段为奇数，则把最小的未操作的数移到正确位置上，如果阶段为偶数，则把最大的未操作的数移到正确位置上。
写一个程序，给出初始的排列情况，计算每一阶段交换的次数。

Input

第一行包含一个整数 \(N\ (1\leq N\leq 100000)\) ，表示数组中元素的个数。
接下来 \(N\) 行每行一个整数描述初始的排列情况。

Output

输出每一阶段的交换次数。

Sample Input

Sample Output

Hint

70% 的数据 \(N\leq 100\)

Solution

血的教训，数组千万别开小了

线段树
构造一个线段树，存储区间内被移动过的数的个数
用 a[k] 表示 \(k\) 的位置， moved[i][j] 代表区间 [i,j] 中已被移动的数的个数（当然，这东西用线段树来维护）
查询数字 \(k\) 需要移动的次数时，如果要把 \(k\) 往前移，就要移动 a[k]-1-moved[1][a[k]] 次
因为，当 \(k\) 之前的数没有一个被移动过的时候，\(k\) 就需要从原位移动到最前面，也就是移动 a[k]-1 次，而每当区间 [i,j] 中有一个数已被移动，那么这个位置就相当于空了出来， \(k\) 就可以少移动一步。所以得出了上面的结论
同理，当 \(k\) 要后移时，要移动 n-a[k]-moved[a[k]][n] 次
这样这道题目就被简单地解决了

T2 自行车赛

WA 0/100 分

Description

翠亨村举行一场自行车赛，翠亨村有 \(N\) 个路口（编号 \(1\) 到 \(N\) ），另有 \(M\) 条双向边连接起来。下面有几个定义：
　　•路径：由一系列边组成，满足后一条边的起点为前一条边的终点；
　　•简单路径：每个路口最多经过一次的路径；
　　•环：起点和终点在同一个路口的简单路径。
保证每对路口之间至少有一条路径相连，除此之外还满足每条边最多只会出现在一个环中。
你的任务是找出最长的满足以下两个条件的路径：
　　•起点可以在任意路口，但终点必须在 \(1\) 号路口；
　　•路径可能多次经过同一个路口，但每条边最多只会经过一次。

Input

第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(M\ (2\leq N\leq 10000\ ,\ 1\leq M\leq 2N-2)\) ，表示路口数量和边的数量。
接下来 \(M\) 行，每行包含两个不同的整数 \(A\) 和 \(B(1\leq A\ ,\ B\leq N)\) ，表示 \(A\) 和 \(B\) 之间存在一条边直接相连，两个路口之间最多只有一条边直接相连。

Output

输出最长的比赛路径的长度。

Sample Input

Sample Output

输出1：
2

输出2：
5

输出3：
6

Solution

从 \(1\) 开始暴搜，能拿 40 分

正解完全看不懂，求大佬指教

Update :
终于， finally ，我会做这道题了！！！

思路其实不难，具体实现看这里

T3 小L的数列

CE 0/100 分

Description

众所周知，小L逃学钓鱼。
现在他有一个递推数列 \(f\) （下标从 \(1\) 开始）。

当 \(i>k\) 时
\(\large{f_i=(f_{i-1}^{b_1}\cdot f_{i-2}^{b_2}\cdot \ \dots\ \cdot f_{i-k}^{b_k})\mod p}\)

现在给你 \(b_1,b_2,\cdots ,b_k\ ,\ n\) ，你需要告诉小L \(f_n\) ，其中 \(p=998244353\) 。

Input

一行两个整数 \(n\) 和 \(k\) 。
之后 \(1\) 行 \(k\) 个正整数 \(b_1,b_2,\cdots ,b_k\) 。
之后 \(1\) 行 \(k\) 个正整数 \(f_1,f_2,\cdots ,f_k\) 。

Output

输出一个整数表示 \(f_n\)

Sample Input

输入1：
5 4
1 2 3 4
4 3 2 1

输入2：
100000 4
1 2 3 4
12 23 34 45

Sample Output

输出1：
27648

输出2：
33508797

Hint

【样例解释】

\(1^1\times 2^2\times 3^3\times 4^4=27648\)

【数据范围】

对于30% 的数据， \(n≤10000\)
对于另外20% 的数据， \(b_i=1,n≤1000000\)
对于另外20% 的数据， \(f_1,f_2,\ \cdots\ ,\ f_{k-1}=1\)
对于另外20% 的数据， \(k≤30\)
对于100% 的数据， \(1≤k≤200\ ;\ 1≤n≤40000000\ ;\ 1≤bi,fi≤998244352\)

Solution

呵呵，我讨厌矩阵快速幂

\(f_n\) 肯定能表示成 \(f_i=(f_1^{s_1}\cdot f_2^{s_2}\cdot \ \dots\ \cdot f_k^{s_k})\mod p\) 的形式，因为每个 \(f_i\) 都是由之前的 \(k\) 个数的几次幂相乘得到的。
那么，我们可以用矩阵记录 \(f_{i-1},f_{i-2},\cdots f_{i-k}\) 分解为 \(f_j=(f_1^{s_1}\cdot f_2^{s_2}\cdot \ \dots\ \cdot f_k^{s_k})\mod p\) 形式时 \(s_1,s_2,\cdots ,s_k\) 的值

对于样例1，我们初始记录为

\(\begin{bmatrix}\ 0&1&0&0\ \\ \ 0&0&1&0\ \\ \ 0&0&0&1\ \\ \ 4&3&2&1\ \end{bmatrix}\)

其中最后一行就代表 \(f_{k+1}\) 分解为 \(f_j=(f_1^{s_1}\cdot f_2^{s_2}\cdot \ \dots\ \cdot f_k^{s_k})\mod p\) 形式时 \(s_1,s_2,\cdots ,s_k\) 的值
这样，当我们把这个矩阵平方时，得到

\(\begin{bmatrix}\ 0&0&1&0\ \\ \ 0&0&0&1\ \\ \ 4&3&2&1\ \\ \ 4&7&5&3\ \end{bmatrix}\)

此时最后一行就是 \(f_{k+2}\) 分解后的指数了
根据矩阵乘法的定义和题目递推的方式很容易证明这一点

以此类推，用矩阵快速幂求出
\(\begin{bmatrix}\ 0&1&0&0\ \\ \ 0&0&1&0\ \\ \ 0&0&0&1\ \\ \ 4&3&2&1\ \end{bmatrix}^{\large{n-k}}\)

这样最后一行就是 \(f_n\) 分解后的指数，我们再用快速幂就能算出答案了