2019暑期集训 - Day 2
第二天了，题目不难，但考的一般，有一题没做好
概述
提高 B 组
4题：T0 , T1 , T2 , T3
320/400 分
10/157 名
T0 佳肴
AC 100/100 分
Description
佳肴就是非常美味的菜的意思，佳肴最关键的是选择好原料
现在有N种原料，每种原料都有酸度S和苦度B两个属性，当选择多种原料时，总酸度为每种原料的酸度之积，总苦度为每种原料的苦度之和
正如大家所知，佳肴是既不酸也不苦的，因为要保证所选的原料使得总酸度和总苦度差的绝对值最小
由于佳肴不能只有水，所以必须至少选择一种佳肴
Input
输入第一行包含一个整数 \(N(1\leq N\leq 10)\)，表示原料的种数
接下来 \(N\) 行每行包含两个用一个空格隔开的整数，分别表示酸度和苦度
输入数据保证如果所有原料都选上，总酸度和总苦度不会超过 \(10^9\)
Output
输出总酸度和总苦度最小的差。
Sample Input
输入1
1
3 10
输入2
2
3 8
5 8
输入3
4
1 7
2 6
3 8
4 9
Sample Output
输出1
7
输出2
1
输出3
1
Hint
样例3中选择最后三种原料，这样总酸度为 \(2×3×4=24\)，总苦度为 \(6+8+9=23\)，差为 \(1\)。
Solution
这题呢很简单，\(N\leq 10\) 所以直接暴力搜索，枚举所有情况即可 AC
T1 取数游戏
AC 100/100 分
Description
Alice想让Bob陪他去看《唐山大地震》，但由于Bob是个很感性的人，怕流泪不想去，但又不好意思以这个作为拒绝的理由，便提出玩一个游戏。
N个正整数围成一圈，规则如下：
- 两个玩家轮流取数；
- 最开始先手的玩家可以取任意一个数x；
- 从第二步开始当前玩家只能取x（上一玩家刚刚取的数）左右两边相邻的数；
- 直到取完所有的数，游戏结束；
- 取得较多奇数的玩家获胜。
Bob为了显示大度，让Alice先取，但他忘了自己和Alice都是绝顶聪明之人，现在Alice请你帮他计算第一步有多少种取法使得最终获得胜利。
Input
第一行包含一个整数 \(N(1\leq N\leq 100)\)，表示数的个数。第二行包含N个正整数，每个数都在 \(1\) 到 \(1000\) 之间，任意两个数互不相同。
Output
输出Alice第一步有多少种取法。
Sample Input
输入1
3
3 1 5
输入2
4
1 2 3 4
输入3
8
4 10 5 2 9 8 1 7
Sample Output
输出1
3
输出2
2
输出3
5
Solution
这题数据不大，可以用 \(O(N^3)\) 的方法 AC，但保险起见，我还是用的记忆化搜索。
设 f[i][j] 表示从第i个数到第j个数中，先手能得到的最大分数，其中先手第一步只能拿i或j；add[i][j]代表从第i个数到第j个数的奇数个数。
那么很容易得到，当先手第一步取i时 f[i][j]=add[i][j]-f[i+1][j] ，因为取完i后，对于剩下的部分 f[i+1][j] ，就相当于是后手了，所以要用总个数减去 f[i+1][j]。同理，当先手第一步取j时 f[i][j]=add[i][j]-f[i][j-1] 。
由此，我们得到了 f[i][j]=add[i][j]-min(f[i+1][j],f[i][j-1])
然后就开始记忆化搜索，碰到符合胜利条件的方法就记录下来最开始取的数。
T2 删除
WA 20/100 分
Description
Alice 上化学课时又分心了，他首先画了一个 \(3\) 行 \(N\) 列的表格，然后把数字 \(1\) 到 \(N\) 填入表格的第一行，保证每个数只出现一次，另外两行他也填入数字 \(1到N\) ，但不限制每个数字的出现次数。
Alice 现在想删除若干列使得每一行排完序后完全一样，编程计算最少需要删除多少列。
Input
第一行包含一个整数 \(N(1\leq N\leq 100000)\) ，表示表格的列数。
接下来三行每行包含 \(N\) 个整数，每个数在 \(1\) 到 \(N\) 之间，而且第一行的数互不相同。
Output
输出最少需要删除的列数。
Sample Input
输入1
7
5 4 3 2 1 6 7
5 5 1 1 3 4 7
3 7 1 4 5 6 2
输入2：
9
1 3 5 9 8 6 2 4 7
2 1 5 6 4 9 3 4 7
3 5 1 9 8 6 2 8 7
Sample Output
输出1
4
输出2：
2
Hint
【样例解释】
例 1 中 Alice 需要删除第 2 、4 、6 、7 这四列，然后每行排完序都是 1 、3 、5 。
【数据范围】
40% 的数据 \(N\leq 100\)
70% 的数据 \(N\leq 10000\)
Solution
这题有点难，主要的思路是这样的：
因为第一行包括所有 \(1 \sim N\) 的数，而一个数只要一行，有 2 、 3 行就必须有它才能满足条件，所以 2 或 3 行中只要没有一个 \(a (1\leq a\leq N)\) ，那么就得从第一行删去包含 \(a\) 的这一列。
同样，当 2 、3 两行中没有缺少 1 行的任何数时，因为 3 行的长度相同，所以 1 、2 、3 三行也不可能有重复的，所以它们排序后完全相同。
然后，这个方法还需要优化，比如用一个队列来记录需要删去的数，而非每次从头到尾找，这样能优化很大一部分时间。
T3 区间
AC 100/100 分
Description
Alice 收到一些很特别的生日礼物：区间。即使很无聊，Alice 还是能想出关于区间的很多游戏，其中一个是，Alice 从中选出最长的不同区间的序列，其中满足每个区间必须在礼物中，另序列中每个区间必须包含下一个区间。
编程计算最长序列的长度。
Input
输入文件第一行包含一个整数 \(N(1\le N\le 100000)\) ，表示区间的个数。
接下来 \(N\) 行，每行两个整数 \(A\) 和 \(B\) 描述一个区间 \((1\le A\le B\le 1000000)\) 。
Output
输出满足条件的序列的最大长度。
Sample Input
输入1
3
3 4
2 5
1 6
输入2
5
10 30
20 40
30 50
10 60
30 40
输入3
6
1 4
1 5
1 6
1 7
2 5
3 5
Sample Output
输出1
3
输出2
3
输出3
5
Hint
例 3 中可以找到长度为 5 的区间序列是：\([1,7] ;[1,6] ;[1,5] ;[2,5] ;[3,5]\)
Solution
这题几乎是裸的最长不升子序列，先按第一个数的大小 sort 一遍，然后求 sort 后序列的第二个数的最长不升子序列，它的长度就是答案了。
DP
动态规划是个非常常考的考点。DP的题目可以出简单也可以出难题，并且类型很多，题目很杂。许多大题中有需要使用DP解决其中的一部分工作，甚至一些本与DP无关的题目都有办法硬扯上DP做。
DP最重要的工作就是找出递推关系，写出递推式。一般DP就是反复使用这个递推式递推得到答案。因此DP的程序一般不长，主要的结构就是一个或几个循环，里面写状态转移方程。
浙公网安备 33010602011771号