线性代数中常见矩阵类型的概念关系思维导图

以下是一个线性代数中常见矩阵类型的概念关系思维导图（以文本形式呈现），聚焦于方阵及其子类，并说明与数据矩阵等非方阵概念的关系：

矩阵（Matrix）
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├── 按形状分类
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│   ├── 方阵（Square Matrix）：行数 = 列数（n×n）
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│   │   ├── 对角矩阵（Diagonal Matrix）：非对角元素全为0
│   │   │   └── 数量矩阵（Scalar Matrix）：对角元素全相等（λI）
│   │   │       └── 单位矩阵（Identity Matrix）：λ = 1
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│   │   ├── 三角矩阵（Triangular Matrix）
│   │   │   ├── 上三角矩阵（Upper Triangular）：主对角线下方全为0
│   │   │   └── 下三角矩阵（Lower Triangular）：主对角线上方全为0
│   │   │
│   │   ├── 对称矩阵（Symmetric Matrix）：A = Aᵀ
│   │   ├── 反对称矩阵（Skew-symmetric）：A = -Aᵀ
│   │   ├── 正交矩阵（Orthogonal Matrix）：A⁻¹ = Aᵀ
│   │   └── 可逆矩阵（Invertible / Nonsingular）：存在 A⁻¹
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│   └── 非方阵（Rectangular Matrix）：行数 ≠ 列数（m×n, m≠n）
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│       ├── 行向量（1×n）
│       ├── 列向量（m×1）
│       └── 数据矩阵（Data Matrix）：机器学习/统计中常用，
│           每行一个样本，每列一个特征（通常 m ≫ n 或反之）
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└── 按元素性质分类（可跨形状）
    ├── 实矩阵（Real Matrix）
    ├── 复矩阵（Complex Matrix）
    ├── 稀疏矩阵（Sparse Matrix）：大部分元素为0
    └── 密集矩阵（Dense Matrix）：大部分元素非0

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关键说明：

1. 方阵是核心结构：

   • 主对角线、行列式、特征值、逆矩阵等重要概念仅对方阵定义。
   • 对角矩阵、三角矩阵、单位矩阵等都是方阵的特例。

2. 数据矩阵通常是非方阵：

   • 在数据分析、机器学习中，"数据矩阵"一般指 m x n 矩形矩阵（m 个样本，n 个特征）。
   • 它不属于方阵体系，但可通过协方差矩阵(X^tX 或 XX^t)转化为方阵进行分析。

3. 包含关系：

   • 单位矩阵 ⊂ 数量矩阵 ⊂ 对角矩阵 ⊂ 方阵
   • 上/下三角矩阵 ⊂ 方阵（注意：有些文献允许矩形三角形式，但标准定义为方阵）

4. 交叉分类：

   • 一个矩阵可以同时属于多个类别，例如：
     • 单位矩阵既是对角矩阵，也是对称矩阵、正交矩阵。
     • 零矩阵（所有元素为0）既是对角矩阵，也是上/下三角矩阵，且在方阵时是奇异矩阵。

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这个结构有助于理解：“主对角线”“对角矩阵”等概念为何依赖于方阵，而像“数据矩阵”这类应用导向的概念则独立于方阵体系。