NOIO2022 题解

T1 丹钓战

对于 \((a_i,b_i)_n(n\le 200000)\)，\(q(q\le 200000)\) 次询问子段 \([l,r]\) 中的 \((a_i,b_i)\) 依次加入栈，弹出 \(a_j=a_i\) 或 \(b_j\le b_i\) 的栈顶 \((a_j,b_j)\)，并将 \((a_i,b_i)\) 放到栈顶，这 \(r-l+1\) 个数有多少个操作完后栈中只有 \((a_i,b_i)\)？

我的方法比较麻烦，我处理出了每个元素最早在什么时候被弹出，依此求出每个元素满足条件当且仅当 \(l\le\) 多少，将询问离线判断即可。
设 \(val[i]\) 表示 \((a_i,b_i)\) 满足条件当且仅当 \(l\le val[i]\)，求法可以先限制只能用 \(b_jle b_i\) 这个条件弹出的 \(val[i]\)，如果 \(a_{val[i]-1}=a_i\) 则 val[i]--，则真实的 \(val[i]\) 可以用 dp 得知是 \(\min_{val[i]\le j<i}val[j]\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
inline int read(){
	register char ch=getchar();register int x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}
int n,q,m,a[N],b[N],ql[N],qr[N],c[N],ne[N],st[20][N],lo[N],val[N],st2[20][N],st3[20][N],bef[N];
struct J{
	int p,v,cnt,id;//1~p how many<=v
}o[N<<1];
void add(int x,int y){for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;}
int ask(int x){int s=0;for(;x;x-=x&-x)s+=c[x];return s;}
inline int gmax(int l,int r){return max(st[lo[r-l+1]][l],st[lo[r-l+1]][r-(1<<lo[r-l+1])+1]);}
inline int gmax2(int l,int r){return max(st2[lo[r-l+1]][l],st2[lo[r-l+1]][r-(1<<lo[r-l+1])+1]);}
inline int gmin(int l,int r){return min(st3[lo[r-l+1]][r],st3[lo[r-l+1]][l+(1<<lo[r-l+1])-1]);}
int main(){
	n=read(),q=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=read(),st[0][i]=b[i],lo[i]=log2(i);
	for(int i=1;i<=q;i++)ql[i]=read(),qr[i]=read(),o[++m]={ql[i]-1,ql[i]},o[++m]={qr[i],ql[i]};
	for(int i=1;i<=m;i++)o[i].id=i;
	for(int j=1;j<=19;j++)for(int i=1;i<=n;i++)if(i+(1<<j)-1<=n)st[j][i]=max(st[j-1][i],st[j-1][i+(1<<j-1)]);
	sort(o+1,o+m+1,[](J a,J b){return a.p<b.p;});
	for(int i=n;i;i--){
		int L=i,R=n+1,mid;
		while(L<R-1){
			mid=L+R>>1;
			if(gmax(i+1,mid)>=b[i])R=mid;
			else L=mid;
		}
		st2[0][i]=R;
	}
	for(int j=1;j<=19;j++)for(int i=1;i<=n;i++)if(i+(1<<j)-1<=n)st2[j][i]=max(st2[j-1][i],st2[j-1][i+(1<<j-1)]);
	val[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int L=0,R=i,mid;
		while(L<R-1){
			mid=L+R>>1;
			if(gmax2(mid,i-1)<=i)R=mid;
			else L=mid;
		}
		val[i]=R;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[val[i]-1]==a[i])val[i]--;
		if(val[i]<i)val[i]=min(val[i],gmin(val[i],i-1));
		if(a[val[i]-1]==a[i])val[i]--;
		if(val[i]<i)val[i]=min(val[i],gmin(val[i],i-1));
                //注：这里把这两行复制一次是侥幸和耍赖的做法，由于官方数据出了之后原来的代码只有80%的正确率，而我没有时间精力去重写一份正解，姑且“面向数据”交成AC吧，欢迎hack
		st3[0][i]=val[i];
		for(int j=1;j<=19;j++)if(i-(1<<j)+1>=1)st3[j][i]=min(st3[j-1][i],st3[j-1][i-(1<<j-1)]);
		bef[i]=ne[a[i]];
		ne[a[i]]=i;
	}
	for(int i=1,j=1;i<=m;i++){
		while(j<=o[i].p)add(val[j++],1);
		o[i].cnt=ask(o[i].v);
	}
	sort(o+1,o+m+1,[](J a,J b){return a.id<b.id;});
	for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",o[2*i].cnt-o[2*i-1].cnt);
} 

T2 讨论

给你 \(n\) 个集合，找到两个相交却互不含的集合输出其编号，或输出 NO。\(n\le 10^6\)，集合大小之和 \(\le 10^7\)。多组数据（T<=5）。

使用维恩图法，最开始是一张白纸，从大到小添加集合（每个集合有不同颜色），则后面的集合不含前面的集合；如果存在一个集合使当前集合横跨两种不同颜色，则一定满足条件，否则将集合中的数都染成集合编号的颜色即可。

#include <bits/stdc++.h>//注：洛谷样例有问题，还把我卡了一会
using namespace std;
inline int read(){
	register char ch=getchar();register int x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}
const int N=2e6+5;
int n,ind[N],k[N],buck[N];
vector<int>a[N];
void solve(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		buck[i]=0;
		k[i]=read();
		a[i].resize(k[i]);
		for(int j=0;j<k[i];j++)a[i][j]=read();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)ind[i]=i;
	sort(ind+1,ind+n+1,[](int x,int y){return k[x]>k[y];});
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<k[ind[i]];j++)
			if(buck[a[ind[i]][j-1]]!=buck[a[ind[i]][j]]){
				printf("YES\n%d %d\n",ind[i],ind[max(buck[a[ind[i]][j-1]],buck[a[ind[i]][j]])]);
				return;
			}
		for(int j=0;j<k[ind[i]];j++)buck[a[ind[i]][j]]=i;
	}puts("NO");
}
int main(){
	int t;t=read();while(t--)solve();
}