点分治
点分治一共学了三次。第一次是初三暑假，看着作业里的“【模板】点分治”感到望而生畏，稀里糊涂依葫芦画瓢交了一个AC，后面就忘光了。第二次是去年六月份，一知半解地写了一个非主流的写法，交上去自己现在都看不懂。第三次就是现在了，感觉主流做法其实很好理解，不知道为什么以前学得那么头疼。故写个博客加深记忆。
功能
解决许多以树上路径为对象的统计类问题。
流程
主流写法共有四大函数，get_root、get_dis、calc 和 work。
void get_root(int x,int p,int &root,int all);//初始root=0,mxsiz[0]=INF
void get_dis(int x,int p,int dis,int fr);
void calc(int x);
void work(int x);
点分治的流程是：
每次选定一个分治中心 \(x\)，需满足 \(x\) 是重心，然后把 \(x\) 标记为删除，形成若干个连通块，递归处理。
每次选择分治中心 \(x\) 后，统计连通块内的所有路径 \((u,v),u\ne x,v\ne x,b_u\ne b_v\) 的答案（通过各种方式，不需要 \(O(siz^2)\)；\(b_u\) 表示删掉 \(x\) 后 \(u\) 属于 \(x\) 的哪个邻居的连通块），以及所有路径 \((x,u),u\ne x\) 的答案。只包含一个点的路径的答案通常可以通过特判的方式解决。
get_root 的作用是找到当前连通块的分治中心 root，all 是当前连通块的大小。
get_dis 的作用是遍历连通块内每个 \(u\ne x\) 并将其存到一个数组 a[1~tot] 中、记录 d[u],b[u] 表示 dist(u,x) 和 \(u\) 属于 \(x\) 的哪个邻居的管辖范围。
calc 最重要了，它通常需要对这 \(siz-1\) 个点在 \(O(siz\text{polylog} n)\) 的复杂度内统计不在 \(x\) 同一邻居管辖范围内的两点的点对的贡献。
work 的作用就是 dfs，每次调用 get_root 找到分裂出的连通块的分治中心，从这个分治中心递归下去 work，每到达一个分治中心就调用一次 calc。
例：【JOISC2021】会合2
给出一棵大小为 \(N\) 的树。
对于树上的一个点集 \(S\)，定义其权值为满足 \(\sum\limits_{u\in S} dis(u,x)\) 取到最小值的 \(x\) 的数量。
对于每一个 \(1\le i \le N\)，求出当点集大小为 \(i\) 时的最大权值。
\(1\le N \le 2\times 10^5\)
看到 \(\sum dis\) 最小，想到带权重心。带权重心构成一条链。更确切地，当 \(|S|\) 为偶数时构成一条链，为奇数时构成一个单点（也就是 \(i\) 为奇数时输出 \(1\) 即可）。这条链只需要满足从链的中间某点把树吊起来后，链首 \(s\) 和链尾 \(t\) 的 \(siz'\) 都 \(\ge k\)，就能用 \(dis(u,v)\) 更新 \(ans_{2k,2k-2,...,2}\)。
现在我们只需要对树上每条路径 \((s,t)\)，用 \(dis(s,t)\) 更新 \(ans[2\min(siz'_s,siz'_t)]\) 了。自然使用点分治解决。
calc 如何实现呢？
我们考虑从 \(a_1\to a_tot\) 枚举 \(u\)，每次查询 \(siz'\ge siz'_u\) 的不与 \(u\) 同 \(b\) 的点的 \(dis\) 最大值（用一棵以 \(siz'\) 为下标的 BIT 维护后缀 \(\max\) 维护）。从 \(a_tot\sim a_1\) 再做一遍。
细节：
- \(siz'\) 怎么求呢？先把所有点的 \(siz'\) 设为在原树中的 \(siz\)，然后暴力跳 \(x\) 的祖先（直到碰到一个已删除的点为止），把经过的点的 \(siz'\) 设为 \(n-siz_{las}\)，\(las\) 为上一个跳到的点，初始为 \(x\)。
- \((x,u),u\ne x\) 类路径怎么统计？单独统计（别跟 \((u,v)\) 类一起统计）。当 \(b_u\ne fa_x\) 时，\(x\) 的 \(siz'\) 取 \(n-siz_{b_u}\)，否则取 \(siz_x\)。
//start coding at 9:52
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
int x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
return x;
}
const int N=2e5+5;
int n,tot,osiz[N],siz[N],ss[N],d[N],b[N],fa[N],mxsiz[N],a[N],res[N];
int c[N];
bool vis[N];
vector<int>G[N];
void odfs(int x,int p){
fa[x]=p,osiz[x]=1;
for(int y:G[x])if(y^p){
odfs(y,x);
osiz[x]+=osiz[y];
}
}
void get_root(int x,int p,int &root,int all){
siz[x]=1,mxsiz[x]=0;
for(int y:G[x])if(y!=p&&!vis[y]){
get_root(y,x,root,all);
siz[x]+=siz[y];
mxsiz[x]=max(mxsiz[x],siz[y]);
}
mxsiz[x]=max(mxsiz[x],all-siz[x]);
if(mxsiz[x]<mxsiz[root])root=x;//cerr<<mxsiz[x]<<' '<<mxsiz[root]<<root;
// cerr<<all<<'.';
}
void get_dis(int x,int p,int dep,int fr){
d[x]=dep,b[x]=fr,a[++tot]=x;
for(int y:G[x])if(y!=p&&!vis[y])get_dis(y,x,dep+1,fr);
}
void add(int x,int y){
x=n-x+1;
for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]=max(c[x],y);
}
int ask(int x){
x=n-x+1;
int ret=-1e9;
for(;x;x-=x&-x)ret=max(ret,c[x]);
return ret;
}
void chexiao(int x){
x=n-x+1;
for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]=-1e9;
}
void calc(int x){
tot=0;
for(int y:G[x])if(!vis[y])get_dis(y,x,1,y);
for(int i=1;i<=tot;i++)ss[a[i]]=osiz[a[i]];
for(int i=fa[x],las=x;i&&!vis[i];i=fa[i])ss[i]=n-osiz[las],las=i;
int j=0;
for(int i=1;i<=tot;i++){
while(j+1<=i&&b[a[j+1]]!=b[a[i]])j++,add(ss[a[j]],d[a[j]]);
res[ss[a[i]]]=max(res[ss[a[i]]],d[a[i]]+ask(ss[a[i]])+1);
// cerr<<a[i]<<'|'<<ss[a[i]]<<'|'<<j<<'.'<<ask(ss[a[i]])+d[a[i]]+1<<'\n';
}
for(int i=1;i<=j;i++)chexiao(ss[a[i]]);
j=tot+1;
for(int i=tot;i>=1;i--){
while(j-1>=i&&b[a[j-1]]!=b[a[i]])j--,add(ss[a[j]],d[a[j]]);
res[ss[a[i]]]=max(res[ss[a[i]]],d[a[i]]+ask(ss[a[i]])+1);
}
for(int i=j;i<=tot;i++)chexiao(ss[a[i]]);
for(int i=1;i<=tot;i++){
if(b[a[i]]==fa[x])res[min(ss[a[i]],osiz[x])]=max(res[min(ss[a[i]],osiz[x])],d[a[i]]+1);
else res[min(ss[a[i]],n+1-osiz[b[a[i]]])]=max(res[min(ss[a[i]],n+1-osiz[b[a[i]]])],d[a[i]]+1);
}
// cerr<<x<<":\n";
// for(int i=1;i<=tot;i++)cerr<<a[i]<<' '<<ss[a[i]]<<'\n';cerr<<'\n';
}
void work(int x){
calc(x);
vis[x]=1;
for(int y:G[x])if(!vis[y]){
int rt=0;
get_root(y,x,rt,siz[y]);
work(rt);
}
}
int main(){
n=read();
for(int i=1,u,v;i<n;i++)u=read(),v=read(),G[u].emplace_back(v),G[v].emplace_back(u);
odfs(1,0);
mxsiz[0]=1e9;
int rt=0;get_root(1,0,rt,n);//cerr<<mxsiz[1]<<'.';
for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=-1e9;
work(rt);
for(int i=n-1;i;i--)res[i]=max(res[i],res[i+1]);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i&1)puts("1");
else cout<<max(1,res[i/2])<<'\n';
}
return 0;
}
