[SNOI2017]炸弹

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首先这个题没有刻意卡错解，所以有一种解法就是，设一次性可以炸 l~r，那么用 l~r 内的 f 来更新 f[i]，其中 (pair<int,int>)f[i] 表示维护的 i 的能炸区间。从左到右来一次，从右到左来一次，再重复一次，就 AC 了；当然，如果是 CF 肯定过不了。

正解有两种，一种是标准的【线段树优化建图】做法 \(O(n\log n)\)，第二种是创新型做法，使用了隐式单调栈，\(O(n)\)。

法1. 线段树优化建图

一个自然的想法是对每个点 \(i\) 向 \(j,|x_i-x_j|\le r_i\) 连有向边，然后缩点在 DAG 上 DP。但是这样时空复杂度都是 \(O(n^2)\) 的，无法接受。

由于每次是向一个连续的 \(j\) 的区间连边，而线段树是将区间分解为 \(O(\log n)\) 个定区间，我们借用这一思路，先建一棵线段树，那么每个节点代表一个区间，对线段树的每个叶子 \(i\) 向对应的 \(j\) 的区间分解出的若干段区间所对应的节点分别连有向边，然后缩点在 DAG 上 DP。这样的时空复杂度都是 \(O(n\log n)\) 的，可以接受。

至于怎么 DP，你可以对每个缩点后的点设一个 \(f_u\) 表示从 \(u\) 出发到达的区间是 \([f_u.first,f_u.second]\)，初始时每个点的 \(f_u\) 为强连通分量 \(u\) 中的最小的l和最大的r。

法2. 隐式单调栈

考虑维护最开始引爆炸弹 \(i\) 后，所有最后被引爆的炸弹区间 \([l_i, r_i]\)。

先把所有 \([l_i, r_i]\) 初始化为 \([i, i]\)，然后令 \(i\) 从 \(2\) 开始，到 \(n\) 结束，执行以下操作：

• 判断自己能否引爆炸弹 $l_i - 1$，如果不能或者 $l_i = 1$，终止操作
• 比较自己的爆炸右边界 $(x_i + range_i)$ 与 $l_i - 1$ 的爆炸右边界 $(x_{l_i - 1} + range_{l_i - 1})$，如果后者更大那么用后者减去 $x_i$ 的值来更新 $range_i$
• 将 $l_i$ 更新为 $l_{l_i - 1}$，并返回第一个操作

这样一轮算下来之后我们就可以计算出只往左爆炸能够到达的边界 $l_i$，时间复杂度是线性的

运用同样的方法倒着来一遍，求出 $r_i$，即得答案。

简单证一下复杂度，外层循环显然是线性的；内层循环中，会存在某一个炸弹 $p$ 它往前炸到了很多以前并不关联的炸弹的情况。看起来这个循环的极限复杂度很高，但是一旦这些炸弹纳入了当前炸弹 $p$ 的影响范围内后，后续炸弹与这段炸弹的关联无非就是都能炸到，或者都不能炸到。不可能只炸一部分，因为这段炸弹的最右侧是 $p$，炸到一部分就炸到了 $p$，炸到了 $p$ 就能炸完这一整段。所以这段炸弹以后的复杂度贡献就几乎没有了。更何况如果后续有炸弹能炸完这一段炸弹，那这段炸弹就被划进一个更大的炸弹爆炸段了。所以这两个循环的总复杂度是 $O(n)$。
-----Extracted from Krystallos's Blog