[省选 2021] 图函数

直接想没有思路的时候看怎么转化题意。
先手动模拟一次，发现当函数执行到 \(v=u\) 时，\(u\) 自己就被删掉了，所以 \(cnt\) 不会变化了。同时，到 \(v\) 的时候，\(1\sim v-1\) 都被删了，所以只能经过 \(\ge v\) 的点。所以翻译下 \(f(u)\) 就是图中满足 \([u\leftrightarrow v](v),v\le u\) 的 \(v\) 的个数，其中定义 \([u\leftrightarrow v]\) 表示 \(u,v\) 可以通过 \(\ge v\) 的点互达。（\([u\leftrightarrow u]=1\)）
而所有时候我们需要的都是 \(\sum f(u)\)，因此 \(v\le u\) 的条件可以去掉，转为求 \(\sum f=\sum_{u,v} [u\leftrightarrow v](\min(u,v))\)。
先考虑第一问（图完整）。观察到 \([]\) 为一种连通性关系，floyd 是用来求解此类问题的，再考虑如何解决所经点限制，floyd 有专门的一个循环来枚举所经点，当外层 k 从大到小枚举并在内层两个循环中加一些 if 就容易满足。
再考虑求出每个图，由于是边的有无影响了连通性，重要一点在于想到转化为（用 floyd）维护 一个点能到另一个点的最早时间，即最大的 \(i\) 使加入第 \([i,m]\) 条边后一个点可以到达另一个点。

启示：

1. 有关连通性的题目可以想 floyd
2. 每次只改动一条边或类似情况，有时间轴思想、整体处理
3. 图中类似于函数的叙述，力求破译其本质

轻微卡常即可写出代码。复杂度 \(O(n^3)\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005,M=2e5+5;
int n,m,f[N][N],ans[M];
inline int read(){
	register char ch=getchar();register int x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}
void print(int x){
	if(x/10)print(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=m+1;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++)u=read(),v=read(),f[u][v]=i;
	for(int k=n;k;k--){
		for(int i=1;i<=k;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if(f[i][k]&&f[k][j])f[i][j]=max(f[i][j],min(f[i][k],f[k][j]));
			}
		for(int i=k+1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=k;j++){
				if(f[i][k]&&f[k][j])f[i][j]=max(f[i][j],min(f[i][k],f[k][j]));
			}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i;j<=n;j++)ans[min(f[i][j],f[j][i])]++;
	for(int i=m;i;i--)ans[i]+=ans[i+1];
	for(int i=1;i<=m+1;i++)print(ans[i]),putchar(' ');
}