平面几何基础知识简笔

向量内外积

• 内积（点积，\(\bm{a\cdot b}\)）：
  • \(=x_1x_2+y_1y_2\)
  • \(=|a||b|\cos\lang a,b\rang\)
  • 是标量
• 外积（叉积，\(\bm{a\times b}\)）：
  • \(=x_1y_2-x_2y_1\)
  • 模长 \(=|a||b|\sin\lang a,b\rang\)
  • 【几何意义】数值上 = 以 \(\bm{a,b}\) 为邻边的平行四边形的面积。
  • 是向量

正余弦定理

• 正弦定理：在 \(\triangle ABC\) 中，\(R\) 为外接圆半径，

\[{a\over\sin A}={b\over\sin B}={c\over\sin C}=2R \]

• 余弦定理：在 \(\triangle ABC\) 中，

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\\ \]

顺逆时针

用 \(\bm{a\times b}\) 的符号判断 \(\bm{b}\) 相对于 \(\bm{a}\) 在的方向：“顺负逆正”。

极角排序

bool operator<(P a,P b){return atan2(a.y,a.x)<atan2(b.y,b.x);}
//atan2是求从原点出发的向量的逆时针旋转角

多边形面积

求多边形 \(P_1P_2...P_n\) 的面积。（多边形可凹可凸）

以平面任一点为原点 \(O\) 对 \(P_i\) 逆时针极角排序。
则多边形面积 \(S=\frac12(\bm{OP_1\times OP_2+OP_2\times OP_3+...+OP_{n-1}\times OP_n+OP_n\times OP_1}).\)

距离

• 欧几里得距离 \(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)；
  曼哈顿距离 \(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)；
  切比雪夫距离 \(\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)\)；
• 曼哈顿转切比雪夫 \((x,y)\to(x+y,x-y)\)；
  切比雪夫转曼哈顿 \((x,y)\to(\frac{x+y}2,\frac{x-y}2)\).

圆与直线的公式

• 圆与直线的交点：
  • 判断直线与圆的位置关系
  • 求圆心在直线上的投影点
  • 求直线的单位向量 \(\bm u\)
  • 求弦长的一半，乘以 \(±\bm u\) 再加上投影点即答案
• 圆与圆的交点：
  • 判断圆与圆的位置关系
  • 求圆心间的距离 \(R\)
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