CF1561E - Bottom-Tier Reversals——有趣的构造题

看题解才做出来，整理一下。

第一步

由于只能翻转奇数前缀，所以对于所有数翻转前后下标奇偶性不变。
通过此，判断如果 \(i\) 的奇偶性异于 \(a_i\) 的奇偶性，则无解。

第二步

由于只能翻转 \(a_i\) 为奇数的前缀，所以猜想相邻的两个数一起考虑，即：先处理 \(1,2\)，让它们处理完后变成 xxxx,2,1；再处理 \(3,4\)，……；再处理 \(2i-1,2i\)，让它们处理完后变成 xxxx,2i,2i-1,2i-2,2i-3,...,2,1；最后处理 \(n-2,n-1\)，那么已经不需要处理 \(n\) 了，最后排成 n,n-1,...,2,1，只需再用一次翻转操作翻转整个数列。
通过此，猜想每一步至多翻 5 次，因为 \(5\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1\le\frac{5n}{2}\)，6 就不行了。

第三步（翻转策略）

假如现在是这么一个状态
xxx,2i-1,xxx,2i,xxx,2i-2,...,2,1
为了叙述方便，记 \(p1,p2\) 为 \(2i-1,2i\) 的位置。

1. 翻转 \([1,p1]\)：2i-1,xxx,2i,xxx,2i-2,...,2,1
2. 翻转 \([1,p2-1]\)：xxx,2i-1,2i,xxx,2i-2,...,2,1
3. 翻转 \([1,p2+1]\)：x,2i,2i-1,xxx,2i-2,...,2,1
   这里做一解释，由于 \(2i\) 此时坐标为偶，所以翻的是 \(p2+1\)，由于 \(2i-2\) 的坐标也是偶的，所以 \(2i\) 和 \(2i-2\) 之间肯定有一个 x(代表不相干数)，因此不会影响到 \(2i-2\) 那一块。
4. 翻转 \([1,3]\)：2i-1,2i,x,xxx,2i-2,...,2,1
5. 最后，翻转 \([1,pos(2i-2)-1]\)(\(pos\) 代指数值的位置)：xxx,2i,2i-1,2i-2,...,2,1

共 5 次。
可以自己思考一下 xxx,2i,xxx,2i-1,xxx,2i-2,...,2,1 的情况，操作序列是不变的，但注意 \(p1,p2\) 在每一次翻转之后是可能发生变化的。

代码

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2025;
int n,a[N],pos[N];
void rev(int m){
	printf("%d ",m);
	for(int i=1;i<=m/2;i++)swap(a[i],a[m-i+1]);
	for(int i=1;i<=m;i++)pos[a[i]]=i;
}
void solve(){
	cin>>n;
	bool noans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		if(a[i]&1^i&1)noans=1;
		pos[a[i]]=i;
	}
	if(noans){puts("-1");return;}
	cout<<n/2*5+1<<'\n';
	pos[0]=n+1;
	for(int i=1;i<n;i+=2){
		rev(pos[i]),rev(pos[i+1]-1),rev(pos[i+1]+1),rev(3),rev(pos[i-1]-1);
	}
	printf("%d\n",n);
}
int main(){
	int t;cin>>t;while(t--)solve();
}

想想看，这个为什么错了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2025;
int n,a[N],pos[N];
void rev(int m){
	for(int i=1;i<=m/2;i++)swap(a[i],a[m-i+1]);
	for(int i=1;i<=m;i++)pos[a[i]]=i;
}
void solve(){
	cin>>n;
	bool noans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		if(a[i]&1^i&1)noans=1;
		pos[a[i]]=i;
	}
	if(noans){puts("-1");return;}
	cout<<n/2*5+1<<'\n';
	pos[0]=n+1;
	for(int i=1;i<n;i+=2){
		printf("%d %d %d %d %d ",pos[i],pos[i+1]-1,pos[i+1]+1,3,pos[i-1]-1);
		rev(pos[i]),rev(pos[i+1]-1),rev(pos[i+1]+1),rev(3),rev(pos[i-1]-1);
	}
	printf("%d\n",n);
}
int main(){
	int t;cin>>t;while(t--)solve();
}