最长上升子序列nlogn算法

本博客转载并修改自：https://www.cnblogs.com/mengxm-lincf/archive/2011/07/12/2104745.html

最近找实习刷题总是遇到类似计算最长上升或非上升子序列，找了些博客总结下，抛弃了O(n^2)的写法.

用dp+二分的方法可得到复杂度O(Nlogn)

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

 下面附上O(NlogN)的代码

    // 动态规划ONlogN
    public int ONlogN(int[] nums) {
        if(nums.length==0) return 0;
        int B[] = new int[nums.length];
        B[0] = nums[0];
        int len = 0;
        for(int num: nums){
            if(B[len]<num){
                B[++len] = num;
                continue; 
            }
            int fro=0;
            int end = len;
            while(fro<end){
                int mid = (fro+end)/2;
                if(B[mid]>=num) end=mid;
                else fro=mid+1;
            }
            B[fro] = num;
        }
        return len+1;
    }

这个是之前写的O(N^2)的代码

// 动态规划ON^2
    public int ON2(int[] nums) {
        if(nums.length==0) return 0;
        int maxLen = 1;
        int []max = new int[nums.length];
        max[0] = 1;
        for(int i=1; i<nums.length; i++){
            int len = 1;
            for(int j=i-1; j>=0; j--){
                if(nums[j]<nums[i] && max[j]+1>len)
                    len = max[j]+1;
            }
            max[i] = len;
            if(len>maxLen)
                maxLen = len;
        }
        return maxLen;
    }

顺便附上测试函数，随机生成一个长度100000的数组，测试两个算法的执行时间

    public static void main(String[] args) {
        Main main = new Main();
        Random r = new Random();
        int len = 100000;
        int[] A = new int[len];
        for (int i = 0; i < len; i++)
            A[i] = r.nextInt(500);
        // O(N^2)
        {
            // 记录开始时间
            long startTime = System.currentTimeMillis();
            // 此处为你调用的方法，算法
            System.out.println(main.ON2(A));
            // 记录结束时间
            long endTime = System.currentTimeMillis();
            float excTime = (float) (endTime - startTime) / 1000;
            System.out.println("执行O(N^2)时间：" + excTime + "s");
        }
        // O(NlogN)
        {
            // 我的
            // 记录开始时间
            long startTime = System.currentTimeMillis();
            // 此处为你调用的方法，算法
            System.out.println(main.ONlogN(A));
            // 记录结束时间
            long endTime = System.currentTimeMillis();
            float excTime = (float) (endTime - startTime) / 1000;
            System.out.println("执行O(NlogN)时间：" + excTime + "s");
        }
    }

结果不出意料，执行时间不是一个档次：

426
执行O(N^2)时间：11.754s
426
执行O(NlogN)时间：0.008s