【题解】 CF1400E Clear the Multiset 笛卡尔树+贪心+dp

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给定长度 \(n\ (1 \le n \le 5000)\) 的自然数数组，你每次可以进行如下操作：

• 给一个区间的数 -1，前提是这个区间没有 0；
• 给某一个位置上的数减去任意正整数，但操作后值不能小于 0。

求出使得所有数字变成 0 的最少操作次数。

Editorial

不是很理解为什么 \(O(n)\) 的题目要出成 \(n=5000\)。

如果只有操作 \(1\)，那么就是铺设道路/积木大赛。不过根据这两个经典题我们可以知道：如果要用操作 \(1\)，一定会贪心地把一个数字减成 \(0\)。

那么这个不幸被减成 \(0\) 的数字是什么呢？显然是区间最小值。

\(O(n^2)\) 做法呼之欲出：每次要么区间全部都用操作 2 干掉，要么先把最小值减掉递归成若干个子区间。

用可以区间查询最小值的数据结构随便维护维护就可以做到 \(O(n \log n)\) 了。

而这个维护最小值的数据结构也可以是笛卡尔树，它正好是区间分裂的位置，方便统计区间大小和递归左右子树，可以 \(O(n)\) 解决这个问题。

Code

为了写这个题口糊了一下怎么写笛卡尔树，没想到竟然是对的（

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int read(){
	char k = getchar(); int x = 0;
	while(k < '0' || k > '9') k = getchar();
	while(k >= '0' && k <= '9') x = x * 10 + k - '0' ,k = getchar();
	return x;
}

const int MX = 5000 + 23;
int a[MX] ,ch[MX][2];

stack<int> stk;

int size[MX];

int dapai(int x ,int f){
	if(x == 0) return 0;
	int l = dapai(ch[x][0] ,x) ,r = dapai(ch[x][1] ,x);
	size[x] = 1 + size[ch[x][0]] + size[ch[x][1]];
	int Ans = min(l + r + a[x] - a[f] ,size[x]);
	return Ans;
}

int main(){
	int n = read();
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){
		a[i] = read();
		if(stk.empty() || a[stk.top()] < a[i]){
			stk.push(i);
		}else{
			int las = 0;
			while(!stk.empty() && a[stk.top()] >= a[i]){
				las = stk.top(); stk.pop();
				if(!stk.empty() && a[stk.top()] >= a[i]){
					ch[stk.top()][1] = las;
				}
			}
			ch[i][0] = las;
			stk.push(i);
		}
	}
	int root = 0;
	while(!stk.empty()){
		root = stk.top();
		stk.pop();
		if(!stk.empty()){
			ch[stk.top()][1] = root;
		}
	}
	cout << dapai(root ,0) << endl;
	return 0;
}