P5304 [GXOI/GZOI2019]旅行者(奇妙建图+二进制枚举)

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题意

一个图 \(n\) 点 \(m\) 条有向边，里面有 \(k\) 个特殊点，问这 \(k\) 个点之间两两最短路的最小值是多少？

数据范围

\(n \leq 10^5\), \(m \leq 5 * 10 ^5\)

思路

假设我们把特殊点分成 \(A,B\) 两个集合，新建 \(s\) 连 \(A\) 集合的所有点，边权 \(0\) ，新建 \(t\) 连接 \(B\) 集合里的所有点，边权 \(0\) ，那么 \(s\) 到 \(t\) 的最短路就是 \(A,B\) 集合点之间的最短路的最小值。

那么对于 \(k\) 个特殊点，我们枚举二进制里的第 \(i\) 位，把二进制第 \(i\) 位是 \(0\) 的点放在 \(A\) ， \(1\) 的点放在 \(B\) ，用以上方法跑两个最短路（正反都需要跑）。

然后跑 \(log\ n\) 次最短路之后，所有最短路的最小值就是最终答案。

原理是，假设 \(k\) 个特殊点里最近的是 \(x\) 和 \(y\) ，那么 \(x\) 和 \(y\) 一定有一个二进制位不一样，那么他们肯定在那次分组的时候被放进了不同的集合，从而肯定被算进了最后的答案之中最短路。

code

#include <bits/stdc++.h>
using  namespace  std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
//#pragma GCC optimize(3)
#define pb push_back
#define is insert
#define PII pair<int,int>
#define show(x) cerr<<#x<<" : "<<x<<endl;
//mt19937 mt19937random(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
//ll getRandom(ll l,ll r){return uniform_int_distribution<ll>(l,r)(mt19937random);}

const ll INF=0x3f3f3f3f;//2147483647;
const int N=1e5+50;
const ll mod=998244353;

int n,m,k;
vector<PII>to[N];
vector<PII>tmp[N];
int a[N];
int S=0,T;

int d[N];
int vis[N];
void dijkstra(){
    memset(d,INF,sizeof d);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    d[S]=0;
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>>q;
    q.push({d[S],S});
    while(!q.empty()){
//        for(int j=0;j<=n+1;j++){
//            cout<<d[j]<<" ";
//        }cout<<endl;
        PII now=q.top();q.pop();
        int u=now.second;
//        cout<<"u="<<u<<endl;
        if(vis[u])continue;
        vis[u]=1;
        for(auto i:to[u]){
            int v=i.first,val=i.second;
//            cout<<v<<" "<<val<<endl;
            if(d[v]>d[u]+val){
                d[v]=d[u]+val;
                if(!vis[v])q.push({d[v],v});
            }
        }
    }
}
void solve() {
    cin>>n>>m>>k;T=n+1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,val;cin>>u>>v>>val;
        tmp[u].pb({v,val});
    }
    for(int i=1;i<=k;i++){
        cin>>a[i];
    }
    int ans=INF;
    for(int i=0;i<17;i++){
        for(int j=0;j<=n+1;j++){
            to[j].clear();
            to[j]=tmp[j];
        }
        vector<int>A,B;
        for(int j=1;j<=k;j++){
            if((1<<i)&a[j]){
                to[S].pb({a[j],0});
                A.pb(a[j]);
            }
            else {
                to[a[j]].pb({T,0});
                B.pb(a[j]);
            }
        }
        dijkstra();
        ans=min(ans,d[T]);
    }
    for(int i=0;i<17;i++){
        for(int j=0;j<=n+1;j++){
            to[j].clear();
            to[j]=tmp[j];
        }
        vector<int>A,B;
        for(int j=1;j<=k;j++){
            if(((1<<i)&a[j])==0){
                to[S].pb({a[j],0});
                A.pb(a[j]);
            }
            else {
                to[a[j]].pb({T,0});
                B.pb(a[j]);
            }
        }
        dijkstra();
        ans=min(ans,d[T]);
    }
    cout<<ans<<"\n";
    for(int i=0;i<=n+1;i++){
        tmp[i].clear();
    }
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int __=1;cin>>__;
    while(__--){
        solve();
    }
    return 0;
}