广义二项式定理、负二项式定理

在高中我们学过，当 \(n\) 为正整数时，

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{n-i}b^i \]

广义二项式定理将其推广到了实数、复数范围。

类比于二项式系数，我们定义广义二项式系数为

\[\binom{a}{k}=\frac{a\cdot(a-1)\cdots(a-k+1)}{k!} \]

于是， \(n\) 不为正整数我们也有

\[(a+b)^\alpha=\sum_{i=0}^\infty\binom{\alpha}{i}a^{\alpha-i}(-b)^{i} \]

由于 \(n\) 不为正整数，我们无法保证广义二项式系数会在 \(i>n\) 时变为 \(0\)。后面的项无法被省略。

负二项式定理则是在指数为负数时的一个特例。

\[\begin{aligned} (a-b)^{-\alpha}=&\sum_{i=0}^\infty\binom{-\alpha}{i}a^{-\alpha-i}(-b)^{i}\\ =&\sum_{i=0}^\infty\frac{-\alpha(-\alpha-1)(-\alpha-2)\cdots(-\alpha-i+1)}{i!}a^{-\alpha-i}(-b)^{i}\\ =&\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+i-1)}{i!}a^{-\alpha-i}(-b)^{i}\\ =&\sum_{i=0}^\infty\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+i-1)}{i!}a^{-\alpha-i}b^{i}\\ =&\sum_{i=0}^\infty\binom{\alpha+i-1}{i}a^{-\alpha-i}b^{i}\\ \end{aligned} \]