矩阵快速幂原理

可以这样来理解“矩阵快速幂”的思路，它其实源自于任何“幂运算”都满足这样两条关键性质：

1. 结合律：\((A^x)\times(A^y)=A^{x+y}\)。
2. 平方技巧：\((A^x)^2=A^{2x}\)。

把要算的指数 \(t\) 用二进制展开：

\[t = b_0\cdot2^0 + b_1\cdot2^1 + b_2\cdot2^2 + \cdots + b_k\cdot2^k, \]

其中每个 \(b_i\in\{0,1\}\)。那么

\[A^t \;=\; A^{b_0\cdot2^0}\times A^{b_1\cdot2^1}\times\cdots\times A^{b_k\cdot2^k}. \]

每一项要么是 \(A^{2^i}\)（当 \(b_i=1\)），要么是“1”（当 \(b_i=0\)）。

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如何高效地得到所有 \(A^{2^i}\)？

而 \(A^{2^i}\) 本身又满足：

\[A^{2^i} \;=\; (A^{2^{i-1}})^2. \]

也就是说，只要从 \(A^{2^0}=A\)（也就是底数自己）开始，每次做一个“平方”操作，就能依次得到

\[A^{2^1},\quad A^{2^2},\quad A^{2^3},\ \dots \]

用掉哪一位的 \(2^i\)，就把对应的 \(A^{2^i}\) “乘”到结果里。

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带着二进制『高效筛』来走一遍

1. 初始化

   • 结果矩阵 res = I（对应二进制中所有 \(b_i=0\) 时的“空乘积”）。
   • 底数矩阵 base = A（对应 \(2^0\)）。

2. 处理每一位

   • 看当前 \(t\) 的最低位（即 \(b_0\)）：

     • 如果是 1，就做 res = res × base，把这份 \(2^0\) 的幂累加到最后答案里。
     • 如果是 0，就跳过。

   • 再做 base = base × base，这样 base 从 \(A^{2^i}\) → \(A^{2^{i+1}}\)。

   • 然后把 \(t\) 右移一位（相当于把二进制 “抛弃” 刚才处理过的那一位），继续处理下一位。

3. 终止

   • 当 \(t\) 被右移到 0 时，所有二进制位都检查过了，res 自然就积累了所有需要的 \(A^{2^i}\) 因子，正好等于 \(A^t\)。

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为什么会“想”到这个方法？

• 从“看指数二进制”开始：我们常常在做大数的幂（如快速幂、快速幂取模）时，会把指数拆成二进制权重的和，因为任何整数都可以分解成 \(2^i\) 的和。
• 利用平方加速：把一次次「乘一个 A」升格为「平方」可以让指数增长速度成倍攀升——\(1,2,4,8,16,\dots\)，这样只要 \(\log_2 t\) 步就能覆盖到 \(t\)。
• 结果累积：遇到二进制 1 就累一次乘，最终把所有“被选中的”倍数相乘，合在一起就得到精确的 \(A^t\)。

这个思路不仅能用在矩阵上，任何满足结合律的“乘法”都可以这么做（整数取模、函数迭代、状态转移……），是计算“\(\text{some\_operation}^t\)”时的一个万能加速套路。