点关于直线的距离、垂足、对称点公式 (2013-09-23)

发布时间 2013-09-23 11:55:36

下面通过两种直线方程的形式，求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。

问题描述1：已知点的坐标（x0，y0），直线的方程为Ax+By+C = 0；求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足（x, y）、点关于直线的对称点(x', y')。

解决方法：

（1）距离：
d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );
这个'距离'有符号，表示点在直线的上方或者下方，取绝对值表示欧式距离。

（2）垂足：
求解两个方程：

• Ax + By + C = 0
• (y - y0) / (x - x0) = B / A
  解得，
  x = ( B*B*x0 - A*B*y0 - A*C ) / ( A*A + B*B )
y = ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C ) / ( A*A + B*B )

（3）对称点：

方法一：求解两个方程：

• A*( x'+x0 ) / 2 + B*( y'+y0 ) / 2 + C = 0
• (y' - y0) / (x' - x0) = B / A

方法二：把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点：
首先，求出垂足；则
x' = 2*x - x0
y' = 2*y - y0
解得，
x' = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B )
y' = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B )

方法三：首先，求一系数k，
k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B)
则，
x' = x0 + k * A
y' = y0 + k * B

问题描述2：已知点的坐标（x0，y0），直线上的两点（x1，y1）、（x2，y2）；求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足（x, y）、点关于直线的对称点(x', y')。

解决方法：

方法一：把直线化两点式为一般式，则一般式中的
A = y2 -y1
B = x1 - x2
C = x2*y1 - x1*y2
带入上面的公式，即可求出相应的距离、垂足、对称点。

方法二：

（a）距离：
首先，求出垂足的坐标；
则
d = sqrt( (x - x0) * (x - x0) + (y - y0) * (y - y0))

（b）垂足：
首先，求一系数 k： 设直线的起点和终点分别为A（x1， y1）、B（x2， y2），直线外一点为C（x0， y0），垂足为D；并设k = |AD| / |AB。
则，k * AB = AD = AC + CD，又 AB * CD = 0，所以，k * AB * AB = AC * AB，故 k = AC * AB / （AB * AB）。

带入坐标，即得，
k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) ) / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) )
则
x = x1 + k*(x2 - x1)
y = y1 + k*(y2 - y1)

（c）对称点：
同问题描述1中的方法。

原文来自狼牙的BLOG: http://blog.csdn.net/changbaolong/article/details/7414796