1.2.3节根据真值表推导命题公式

这一段主要是根据所给出的真值表推导命题公式。

P	Q	R
T	T	T
T	F	T
F	T	F
F	F	F

方法一

我们可以这样来考虑，对于每行的公式设定一个命题变量，假设分别是C1，C2，C3，C4，其中C3=F，C4=F

整个命题公式是什么呢？

从表中得知，当C1，C2其中一个为真的时候，整个命题为真，因此用析取式。

因此就是C1=T  V C2=T V C3=F V C4=F，根据恒等律(PVF=P)，我们可以略掉C3=F和C4=F

结果就是 C1  V C2

现在，思考怎么推导C1，C2的公式呢

用第一行来说，P=T并且Q=T的时候，C1=T，很明显用合取式

将C1，C2一一展开，最终的命题公式=(P  Λ Q) V (P  Λ ¬Q)

 

方法二

我们还可以用排除所有为F的行，来推导公式，这就是说，我们排除掉为假的所有情况，剩下来的就是为真的情况。

比如根据上面的真值表，按照方法一我们可以列出伪公式

(C3 V C4 ) = F

但是命题公式（严格说是命题表达式）只能列出为真的情况，我们可以把上面伪公式转换为

 ¬(C3 V C4) = T

=¬C3 Λ ¬C4 （德摩根定律）这里可以换种方式思考，即当所有项为假时，整个复合命题为假

=¬(¬P Λ Q) Λ ¬(¬P Λ ¬Q) （将C3和C4展开）

=(P V ¬Q) Λ (P V Q) （德摩根定律）

可以看出，整个命题公式=真值为假的所有行取反，再合取

即¬C1 Λ ¬C2 Λ ... Λ ¬Cn

展开来，各行的反值=各变量的反值的析取  （也就是说必须是各项为假的情况下，该行的真值才为假）

 

这两个方法其实也可以用支配律来思考

方法一是p V T = T的应用，也就是说只要某一项为真，则整个复合命题为真

方法二是p Λ F = F的应用，当所有项为假时，整个复合命题为假