网络流基础 （转自mindlee.net）

     将每条有向边想象成传输物质的管道。每个管道都有一个固定的容量，可以看作是物质能流经该管道的最大速度（譬如可以想象为水流和河槽）。顶点是管道间的连接点，除了源点（S，Source）和汇点（T，Target）以外，物质只流经这些顶点。而不聚集在顶点中。

     注：下文提到的数字，基本都可加单位 “单位流量”来理解。

 

网络流中的最大流研究的问题是：在不违背容量限制的条件下，把物质从源点传输到汇点的最大速率是多少？上边的图示中，还有些需要说明，设G = （V，E）是一个流网络，其容量函数为c（c(u, v)，Capicity）。s 为源点，t 为汇点。G 的流是一个函数 f （Flow）。上图中每条边标记的是流网络的容量 c(u, v)，右图中，G中的流 |f| = 19。图中只显示正网络流。如果 f（u，v） > 0，则标记（u，v）为 f（u，v）/ c（u，v）（斜杠仅仅用来区分流和容量，不表示相除）。如果 f（u，v）<= 0，边（u，v）只标记它的容量。譬如（s，v₁）这条边，最大流量限制是16，但实际流过11，所以表示为11 / 16。

    网络流算法要基于三种思想：残留网络（Residual Network），增广路径（Augmenting Path）和割（Cut）。

     和开头同一个例子，上图，图（b）就是残留网络，仔细观察一下，应该就可以明白，譬如边（s，v1），从 s 到 v1 流过11，还剩5，所以残余容量是5，当然，流量是守恒的，所以反向从 v1 到 s 流过11。剩余的容量 + 反向平衡的流量共同构成了残留网络。对于名词“残留容量（Residual Capacity）”的定义：在不超过容量c（u，v）的条件下，从 u 到 v 之间可以压入的额外网络流量，就是（u，v）的残留容量（Residual Capacity），公式定义是：c_f（u，v） = c（u，v） – f（u，v）。而残留网络G_f = （V，E_f）。

     图（b），阴影覆盖的边为增广路径 p ，其残留容量为 c_f（p） = c_f（v₂，v₃） = 4。看图应该就可以大概理解什么是增广路了。看图可以发现 s 到 v₂还可以通过 5，v₂到v₃还可以通过 4，v₃到 t 还可以流 5，按照常识，也可得出，这条路径还可以再流过 4 的结论。而从 s 输送 4 到 t 的这条路就是增广路。"增广路径 p”的定义：p 为残留网络G_f中从 s 到 t 的一条简单路径。在不违反边的容量限制条件下，增广路径上的每条边（u，v）可以容纳从 u 到 v 的某额外正网络流。Starvae师兄在讲解增广路时，有一段通俗的描述：

     假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，一定可以保证这个流依然是可行流。这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。

另外，这里得出的，计算增广路流量的公式非常重要：c_f（p） = min { c_f（u，v）：（u，v）在 p 上}，因为最大流算法的核心基本也就是寻找增广路了。

最大流最小割定理：一个流是最大流，当且仅当它的残留网络不包含增广路径。

    流网络的割（S，T）将V划分为 S 和 T = V – S两部分，使得 s ∈ S，t ∈ T。如果 f 是一个流，则穿过割 （S，T）的净流被定义为 f (S，T）。割（S，T）的容量为 c（S，T）。一个网络的最小割就是网络中所有割中最小容量的割。

     上图中，流网络的割（S = {s，v₁，v₂}，T = {v₃，v₄，t}），S中的顶点是黑色，T中的顶点是白色。穿越（S，T）的净流量为：f（v₁，v₃） + f（v₂，v₃） + f（v₂，v₄） = 12 + （-4） + 11 = 19；容量为：c（v₁，v₃） + c（v₂，v₄） = 12 + 14 = 26。可以看出，割的净流由双向的网络流组成。而割的容量仅由 S 到 T 的边计算而得。

     还有一个很有重要的知识：反向边。如图（a），1是源点，4是汇点。很明显如果第一次迭代找到的增广路是1→2→4和1→3→4，则最大流是2，但是如果第一次迭代找到的增广路是1→2→3→4，那么流量只有1，如图（b）是残留网络，这时候，反向边就起作用了，由于反向边的原因，第二次迭代的时候，又找到一条增广路1→3→2→4。这样下来，总的流量还是2。还是Starvae师兄的解释：

      当我们第二次的增广路走 3→2 这条反向边的时候，就相当于把 2→3 这条正向边已经是用了的流量给“退”了回去，不走 2→3 这条路，而改走从 2 点出发的其他的路也就是 2→4。（有人问如果这里没有 2→4 怎么办，这时假如没有 2→4 这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点）同时本来在 3→4 上的流量由 1→3→4 这条路来“接管”。而最终 2→3 这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流量。反向边的作用就是给程序一个可以后悔的机会。