范数&均方根

范数这个概念我是在信号矢量空间分析中看到的，在这里贴出来一下，具体主要是前人研究信号线性空间矢量长度的度量方法提出来的，简单说，让信号有了能量的特性

1.向量范数&矩阵范数

我们都知道，函数与几何图形往往是有对应的关系，这个很好想象，特别是在三维以下的空间内，函数是几何图像的数学概括，而几何图像是函数的高度形象化，比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。但当函数与几何超出三维空间时，就难以获得较好的想象，于是就有了映射的概念，映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合。通常数学书是先说映射，然后再讨论函数，这是因为函数是映射的一个特例。为了更好的在数学上表达这种映射关系，（这里特指线性关系）于是就引进了矩阵。这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合，而我们通常所说的基，就是这个集合的最一般关系。于是，我们可以这样理解，一个集合（向量），通过一种映射关系（矩阵），得到另外一个几何（另外一个向量）。那么向量的范数，就是表示这个原有集合的大小。而矩阵的范数，就是表示这个变化过程的大小的一个度量。

 

 

2.均方根（RMS）

在数据统计分析中，将所有值平方求和，求其均值，再开方。物理学中，常用均方根值来分析噪声。同时也是定义交流信号的有效电压或电流的数学方法。

 

 

数学上，将称为函数f(x)在[a,b]上的均方根

 

3.工程上噪声的定义

在讲到噪声定义时候可以先来了解下电压的有效值定义：

若是对于一个电路系统而言，噪声也就是对应于电压或者电流，只不过这个电压和电流就和一般定义的有效值一样。同样的，电压或电流的有效值指的是一段时刻内的，而噪声的有效值指的一段频率范围内的（带宽）。

对于电压或者电流，其有效值的定义就直接给出了如下：

 

对于噪声的定义也直接给出了：

因为要进行计算的是频域范围内的，可以想象针对应该是频率域的噪声有效幅值

可以看做FFT变换后每个频率对应的幅度

下面公式中D不代表具体含义，只代表单一频率信号