多重背包，混合背包

多重背包

问题模型

给定n个物品，其中第i个物品的体积为\(V_i\),价值为\(W_i\),并且有\(C_i\)个，有一容积为M的背包将物品放入背包,使得最后的体积最大。

方法一：

for i=1 to n
  for j=0 to m 
    for k=0 to min(c[i],j/v[i])
      f[i][j]=max(f[i-1][j-k*v[i]]+k*s[i]);

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

inline int read(){
   int s=0,w=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
   while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
   return s*w;
}

int n,m; 
int w[600],v[500],s[600],f[600][6010];

int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=m;j++){
			for(int k=0;k<=min(s[i],j/v[i]);k++){
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];
	return 0;
}

方法二：

降维：

• 去掉前一维
• 改为逆推

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

inline int read(){
   int s=0,w=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
   while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
   return s*w;
}

int n,m; 
int w[600],v[500],s[600],f[6010];

int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=m;j>=0;j--){
			for(int k=0;k<=min(s[i],j/v[i]);k++){
				f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
			}
		}
	}
	cout<<f[m];
	return 0;
}

方法三：

多重背包转01背包：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

inline int read(){
   int s=0,w=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
   while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
   return s*w;
}

int n,m; 
int w[600],v[500],s[600],f[6010];

int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int k=1;k<=s[i];k++){
			for(int j=m;j>=v[i];j--){
				f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
			}
		}
	}
	cout<<f[m];
	return 0;
}

P.S. 思考：

在01背包达到最优解的情况下，如何求出选择了哪些物品，并输出。

混合背包：

01背包+多重背包+完全背包

for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=v;j++){
			if(p[i]==1){
				if(j>=c[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);
				else f[i][j]=f[i-1][j];
			} else if(p[i]==0){
				if(j>=c[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-c[i]]+w[i]);
				else f[i][j]=f[i-1][j];
			} else {
				for(int k=0;k<=p[i]&&k*c[i]<=j;k++){
					f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
				}
			}
		}
	}

降维：

for(int i=1;i<=n;i++){
		if(p[i]==1){
			for(int j=v;j>=c[i];j--){
				f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
			}
		} else if(p[i]==0){
			for(int j=c[i];j<=v;j++){
				f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
			}
		} else {
			for(int j=v;j>=0;j--){
				for(int k=0;k<=min(p[i],j/c[i]);k++){
					f[j]=max(f[j],f[j-k*c[i]]+k*w[i]);
				}
			}
		}
	}