概率符号基础
概率符号基础
原文：
towardsdatascience.com/basics-of-probability-notations-03b6abd5510a/
由Martin Woortman在Unsplash拍摄的照片
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如果你一直在关注我之前关于概率的文章，你可能已经注意到，在深入探讨贝叶斯定理之前，我简要地提到了像概率符号这样的概念。
我花了一些时间回顾我的文章，并意识到我没有深入探讨那些为所有概率计算奠定基础的基础符号，例如并集、交集、独立性、不相交等。
这些符号不仅仅是应该被一带而过的东西，因为它们在所有与数据相关的事物中都极其重要。特别是在数据分析、机器学习、统计建模等领域。
这种认识让我想到：在深入探讨高级主题，如条件概率、条件独立性、贝叶斯定理、马尔可夫链或蒙特卡洛方法之前，对基础知识的牢固理解至关重要。
没有这个基础，高级概率主题可能会感觉令人不知所措且缺乏联系。
因此，我退一步，给出一些更好的解释来阐述概率符号。但别担心，就像我的大多数文章一样，这不会仅仅是理论！我会通过清晰的例子和实际场景带你理解。
让我们开始吧！
目录
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并集： P(A U B)
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交集： P(A ∩ B)
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独立性和不相交
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补集 (Aᶜ) 和差集 (A B)
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有用的运算
1. 并集：P(A U B)
概率中最基本的运算之一是并集。如果你在高中或大学期间上过统计学、数学、机器学习或工程学的课程，你很可能已经遇到过这个概念。
我们这样发音：A "并" B
两个集合（或事件）的并集定义为“包含在集合 A、集合 B 或两者中的所有元素。”用更简单的术语来说，它捕捉了至少属于一个集合的所有事物。
从逻辑角度来看，并集使用运算符"或"连接。如果你有计算机科学背景，这可能会让你感到熟悉，因为它与编程中使用的逻辑“或”运算符相一致。
1.1. 美国足球数据：并集的实际应用
想象一下，你是一名美国国家足球队的データサイエンティスト，负责分析球队的表现。主教练走到你面前，提出了一个简单的问题（考虑到你的 200K 美元薪水，这个问题可能太简单了）：
“你能识别出以下比赛吗：
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球队在主场输掉了比赛（在美国的体育场），
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球队至少以两球之差被击败，或者
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两者（球队主场输掉比赛并且至少以两球之差）？
作为一名勤奋的数据科学家，你首先将问题分解为计算和识别这些场景。在备战 2026 年世界杯的同时，检查相关的统计数据也很有用，例如球队主场输球的频率或比赛中至少进两球的情况。
这里有一个例子，使用了 10 场最近国家队比赛的资料：
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球队主场输掉比赛的比赛：
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球队至少以两球之差被击败的比赛：
为了回答教练的问题，你计算了这些事件的并集，它包括发生任一条件或两者都发生的所有比赛。结果是：{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
这些比赛代表了分析出错的机会。你将这份清单交给教练，建议他们在世界杯前审查这些比赛，以确定改进的领域。
非常简单，对吧？现在让我们来谈谈交集。
2. 交集：P(A∩B)
两个集合（或事件）的交集定义为“存在于集合 A 和集合 B 中的元素。”用更简单的术语来说，它确定了同时属于两个集合的元素。
我们这样发音：A "交集" B
虽然集合的并集使用逻辑运算符"或"连接，但交集使用逻辑运算符"与"连接。这意味着只有当结果同时满足两个条件时，它才属于交集。
2.1. 美国足球数据：交集的实际应用
让我们回到美国足球数据，但这次，主教练要求进行更深入的分析：
“你能识别出以下比赛吗：
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球队主场输掉比赛（在美国的体育场），并且
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球队至少以两球之差被击败。
在回顾并集的例子时，你可能想过，“分析我们输掉比赛超过两球的情况，而不是仅仅看所有主场失利或惨败的比赛，不是更有洞察力吗？”如果是这样，你直觉上是在考虑这两组事件的交集——即使你没有意识到这一点！
回顾数据：
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球队主场失利的比赛：
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球队至少以两球劣势败北的比赛：
为了回答教练的问题，你需要计算这些事件的交集，它只包括符合两个事件条件的比赛。结果是：{3, 5}
专注于这些比赛可以让球队识别出模式或弱点，例如防守问题或主场作战时没有奏效的策略。通过分析这些具体的比赛结果，教练团队可以采取行动步骤来改善主场的表现和防守策略，为未来的比赛做准备。
这个逻辑上的“和”有助于关注满足两个标准的结果，这有助于识别模式或趋势，例如球队防守表现与输球相关的比赛。
现在我们已经涵盖了两个基本的概率概念——并集和交集——我们可以更深入地探讨计算概率时至关重要的其他方面：独立性和不交集
3. 独立性和不交集
通常当我们谈论事件之间的概率时，明确事件是“独立”还是“不交集”是很重要的。这两个概念在最初可能难以区分，如果你没有仔细注意，它们可能看起来很相似。
然而，它们在本质上是有区别的，这种区别导致了完全不同的概率计算。
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不交集事件是互斥的，不能同时发生
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独立事件不会相互影响，但可以同时发生。
我会先更具体地解释不交集的概念，然后再讨论独立性。
(左) A & B 是重叠的 | (右) A & B 是不交集
3.1. 不交集：P(A∩B)=0
不交集事件描述的是两种事件永远不会同时发生的情况，这意味着它们没有共同的结果。请记住这个陈述，因为它对于独立性（我将在下一节中讨论）是一个极其重要的区分。
从数学上讲，如果事件 A 和事件 B 是不交集的，它被定义为：
不交集
用更简单的话说，一个事件的发生保证另一个事件不可能发生。我个人认为用例子来可视化会更简单。
参加超级碗和冰岛度假航班？
想象一下，你计划在2025 年 2 月 9 日度假。你将飞往冰岛，在温泉中放松。然而，你意识到这一天恰好是老鹰队和雷电队之间的超级碗 LIX 比赛日。航班起飞时间在超级碗期间。
那么，让我问你一个问题。你能够同时到达冰岛和超级碗的概率是多少？
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事件 A：你正在乘坐飞往冰岛的飞机航班。
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事件 B：你将亲自参加超级碗。
显然，这两个事件不能同时发生。如果你在飞往冰岛的航班上，就不可能物理地出现在超级碗现场，反之亦然。这些事件是互斥的。
互斥事件是相互排斥的——如果其中一个发生，另一个就不能发生。你飞往冰岛的概率 "P[A]"和亲自参加超级碗的概率 "P[B]"为零！
这是概率中一个关键的概念，因为它通过确保事件之间没有重叠来简化计算。
3.2. 独立性：P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B)
独立事件是不影响彼此的事件，这意味着一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响。
定义可能听起来与互斥事件非常相似，然而，与互斥事件不同，独立事件可以同时发生。
从数学上讲，如果一个事件 A 和事件 B 是独立的，它被定义为：
独立性
这意味着这两个事件同时发生的概率仅仅是它们各自概率的乘积。
雷电队赢得超级碗和度假航班延误？
让我们看看一个类似的场景，涉及超级碗和你的冰岛度假航班。
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事件 A：堪萨斯城酋长队赢得超级碗。
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事件 B：你的度假航班飞往冰岛延误。
这些事件是独立的，因为雷电队是否赢得比赛对你的航班延误的可能性没有影响。同样，航班的状态也不会影响超级碗的结果。
这两个事件可以同时发生（雷电队赢得比赛并且你的航班延误），但它们是无关的。
3.3. TL;DR
我会快速给你总结一下差异，以便你稍后回顾。
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互斥事件是相互排斥的，不能同时发生（例如，同时参加超级碗和飞往冰岛）。
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独立事件不会相互影响，可以同时发生（例如，雷电队赢得比赛并且你的航班延误）。
4. 补集（Aᶜ）和差集（AB）
现在我们已经涵盖了概率中大多数基本的基础概念，让我们继续到最后两个：补集和差集。
这些可能是最简单可视化和理解的事件，但它们在处理高级概率主题时仍然非常重要。
快速术语概述：全集（Ω）
在我们继续前进到补集和差集之前，让我们快速回顾一下全集的概念，通常表示为Ω。这是集合论和概率论中的一个基本概念，理解它将使补集和差集等概念更加清晰。
全集是包含实验或场景所有可能结果的集合。它代表所有考虑元素构成的“宇宙”。
我们讨论的每个集合或事件都是Ω的子集。
回到足球比赛：如果分析美国国家足球队 10 场比赛，全集可能代表所有比赛：Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
掷骰子：对于标准的六面骰子，全集是：Ω={1,2,3,4,5,6}
全集为定义其他集合提供了一个参考点。没有Ω，很难确定给定集合的“外部”是什么。
（左）Aᶜ | （右）AB
4.1. 补集（Aᶜ）
集合 A 的补集包括全集（Ω）中不在 A 中的所有元素。用更简单的说法，它代表所有不属于 A 的结果。
足球示例（补集）
- 我们的全集（Ω）是足球队的所有 10 场比赛：
- 我们的事件 A 是“球队主场失利”：
补集，Aᶜ，代表所有球队没有主场失利的比赛。这包括客场比赛或主场获胜的比赛。
在这个例子中，Aᶜ帮助教练分析球队在主场或客场表现更好的比赛，重点关注成功的成果。
4.2. 差集（A∖B）
两个集合之间的差集，A∖B，是所有在 A 中但不在 B 中的元素的集合。将其视为从 A 中减去 B。
足球示例（差集）
- 集合 A：球队主场失利的比赛：
- 集合 B：球队至少以两球之差被击败的比赛：
差集 A∖B 代表所有球队主场失利但至少没有输掉两球的比赛。本质上，这是 A 中球队仅以一球之差失利的子集：
在这种情况下，教练可以关注球队主场险些失利的情况，可能识别出在接近比赛中的改进机会。
4.3. 简要概述
我会再次快速为您总结，以便您稍后可以回顾。
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补集（Aᶜ）有助于识别不属于特定事件的结果，例如球队没有主场失利的情况。
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差集（A∖B）将焦点缩小到特定结果子集，例如球队仅以一球之差主场失利的情况。
5. 简要概述
为了完成这篇文章，我认为最好给你们一个整体的 TL;DR，以及一些在计算概率时需要记住的有用操作。首先，让我给你们一个 TL;DR 的表格。
TL;DR
5.1. 概率中的有用操作
A. 交换律：对于两个事件 A 和 B，组合事件的顺序并不重要。
B. 结合律：对于三个事件 A、B 和 C，事件的分组顺序并不重要。
C. 分配律：交集分配到并集，反之亦然
D. 德摩根定律：并集和交集的补集
5.2. 概率中的有用规则
A. 加法规则：对于两个事件的并集，它总是遵循以下方程
事件 A 和 B 的并集
然而，如果 A 和 B 是互斥的，那么你可以走捷径：
B. 乘法规则：对于两个事件的交集，如果 A 和 B 是独立的，它总是遵循以下方程
A 和 B 的交集（独立）
然而，如果它们不是独立的（通常情况下是这样的），你必须使用条件概率。这是下一篇文章中我会讨论的话题！
C. 补规则：事件 A 的补集是 Aᶜ（不在 A 中的所有事物）
Aᶜ
我希望你们能学到一些东西！
与我联系！
如果你已经读到这儿，我假设你是一位有志成为数据科学家的人，数据科学领域的教师，一位希望磨练技艺的专业人士，或者只是不同领域的一位热切学习者！我很乐意和你聊聊任何话题！
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