动态规划

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）

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00. 主要内容

• 动态规划是一种在数学、计算机科学和经济学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，其核心思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

01. 动态规划的基本要素

1. 重叠子问题：在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。
2. 最优子结构：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，这些子问题可以独立求解。
3. 无后效性：子问题的解一旦确定，就不再改变，不受之后阶段决策的影响。

02. 动态规划的求解步骤

1. 定义状态：明确每个子问题的状态表示，通常用一个或多个变量来描述。
2. 写出状态转移方程：描述子问题之间的关系，即如何通过已知子问题的解来求解更大规模的问题。
3. 确定边界条件：即最简单子问题的解，通常是问题规模为1或0时的解。
4. 计算顺序：按照从小到大的顺序计算子问题的解，确保在求解当前问题时，其依赖的子问题已经求解完毕。
5. 优化空间：根据具体情况，可以考虑优化空间复杂度，例如使用滚动数组等方法。

03. 动态规划的应用场景

动态规划广泛应用于求解最优化问题，如：

• 背包问题：在给定容量和物品价值的背包中，如何选择物品使总价值最大。
• 最长公共子序列：求两个序列的最长公共子序列长度。
• 最短路径问题：在有向图中，求从起点到终点的最短路径。
• 资源分配问题：如何分配有限的资源，使总收益最大。

04. 动态规划与贪心算法、分治法的区别

• 与贪心算法的区别：贪心算法每一步都选择当前最优解，不考虑未来的影响，而动态规划会考虑所有子问题的最优解。

• 与分治法的区别：分治法将问题划分为独立的子问题，子问题之间没有重叠，而动态规划的子问题之间存在重叠，需要保存子问题的解以避免重复计算。

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总之，动态规划是一种强大的算法设计技术，能够高效地解决许多具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

掌握动态规划的关键在于理解问题的本质，正确地定义状态和状态转移方程。