有理数的阿基米德性质及其应用

  • 有理数的阿基米德性质

任何有理数\(r=\dfrac {p} {q}\leq |p|\)(这里\({p}\)\({q}\)都是整数并且\({q≠0}\)),因为\(r=\dfrac {p} {q}\leq \dfrac {|p|} {|q|}\leq \dfrac {|p|} {1}=|p|\),可知对于任何有理数\(r\),总存在比它大的正整数\(n\),即\(n>r\) ,比如这里可取\(n=|p|+1\),这就是有理数的阿基米德性质(Archimedean Property for rational numbers)[1]。如果\(r\)是任意正有理数,那么\(\dfrac {1} {r}\)也是任意正有理数,对前面这个不等式两边取倒数有\(\dfrac {1} {n}<\dfrac {1} {r}\) , 可知对于任何正有理数,总存在正整数\(n\)使得\(\dfrac {1} {n}\)小于它 ,综合这两条性质来看——即没有最大的正有理数也没有最小的正有理数。后面等我们学习到实数的阿基米德性质后,同样会明白没有最大的正实数也没有最小的正实数,进而所谓的“无穷大数”和“无穷小数”也就不存在实数系里了[2]

  • \(A=\{x\in \mathbb {Q}|x^{2}<2 或 x<0\}\),A内有最大的有理数吗?

你也许会想到:如果\(a\)是A内最大的有理数,那么必有一个有理数\(a'\)满足\(a<a'<\sqrt {2}\)(根据“任何两个不同实数间必然存在有理数”可得),故而A内没有最大的有理数。但是,这种方法依赖于实数或无理数的存在,假设我们仅仅只知道有理数,那么还能回答这个问题吗?能!用有理数的阿基米德性质就能解决这个问题,该问的解决对于我们后面以有理数为基础通过Dedekind Cut来构建数的连续体至关重要。

假设\(a\)是A内最大的有理数,只要选定足够大的正整数\(n\)就可以让\(a+\dfrac {1} {n}\)变得比\(a\)稍大一点点,那么我们很自然就会想:是不是存在正整数\(n\)使得\(\left(a +\dfrac {1} {n}\right) ^{2} < 2\)呢?若存在,那么我们便说明了A内有比\(a\)更大的有理数\(a +\dfrac {1} {n}\),从而说明A内无最大的有理数,下面是证明过程。

证明:假设A内有最大的有理数\(a\),那么\(a\)必然是正有理数且\(a^{2}<2\) 。如果证明存在正整数\(n\)使得\(\left(a +\dfrac {1} {n}\right) ^{2} < 2\),便可得出A内有比\(a\)更大的有理数\(a +\dfrac {1} {n}\),从而说明A内无最大的有理数。

\(\left(a +\dfrac {1} {n}\right) ^{2}=a^{2}+\dfrac {2a} {n}+\dfrac {1} {n^{2}}<a^{2}+\dfrac {2a} {n}+\dfrac {1} {n} =a^{2}+\dfrac {1} {n}(2a+1)\),如果能证明存在正整数\(n\)使得\(a^{2}+\dfrac {1} {n}(2a+1)<2\),那么\(\left(a +\dfrac {1} {n}\right) ^{2} < 2\)自然得证。对\(a^{2}+\dfrac {1} {n}(2a+1)<2\)稍作变形可得\(\dfrac {1} {n}<\dfrac {2-a^{2}}{2a+1}\) ,现在问题变成了是否存在正整数\(n\)使得\(\dfrac {1} {n}<\dfrac {2-a^{2}}{2a+1}\) ,因为\(a\)是正有理数且\(a^{2}<2\),所以\(\dfrac {2-a^{2}}{2a+1}\)是正有理数,由“对于任何正有理数,总存在正整数\(n\)使得\(\dfrac {1} {n}\)小于它”知存在这样的正整数\(n\),也就存在正整数\(n\)使得\(\left(a +\dfrac {1} {n}\right) ^{2} < 2\),所以A内无最大的有理数。

用类似的方法也可以证明\(\{x\in \mathbb {Q}|x^{2}>2且x>0\}\)内无最小的有理数[3]。下一节我将以这两个问题为例介绍数的连续体的构建,请继续关注!


  1. Charles Chapman Pugh, Real Mathematical Analysis, 1st Edition, P20 ↩︎

  2. James S. Howland, Basic Real Analysis, 1st Edition, P15 ↩︎

  3. 证明看这里 ↩︎

posted @ 2017-10-18 14:54  iMath  阅读(5671)  评论(0编辑  收藏  举报
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