矩阵快速幂

很常用的优化，可以处理所有的递推问题转为 \(O(k\log n)\) 级别时间复杂度。（\(k\) 为常数）

前置芝士：

矩阵乘法
快速幂

其中矩阵乘法的时间复杂度是 \(O(n^3)\)（也有 \(O(n^{2.7})\)的做法），这就是常数的来源（不过这个常数并不会很大，是递推式项数的立方）。
如果想看这方面的例题可以看我的这篇题解。

接下来通过对斐波那契数列的讲解介绍矩阵快速幂。

众所周知，斐波那契数列有以下递推式：

\[\Large f_i=f_{i-1}+f_{i-2} \]

正常递推求第 \(n\) 项的时间复杂度是 \(O(n)\)，可是当 \(n\) 等于 1e9，这个复杂度无疑是要超时的，所以我们便要用到矩阵快速幂。

根据递推式我们构造出一个矩阵式子：

\[\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \]

然后……

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \]

待补充