「学习笔记」树状数组

树状数组

操作

以下代码为树状数组最常用的几个操作

1. $\mathrm{lowbit}$

function lowbit(x:longint):int64;
Begin
        exit(x and (-x));
end;

2. 单点修改

procedure replace(x,y:int64);
Var i:int64;
Begin
        i:=x;
        interim[x]:=y;
        while i<=n do
        Begin
                tree[i]:=y;
                i:=i+lowbit(i);
        end;
end;

3. 区间查询

function get_summation(x:longint):int64;
Var i:int64;
Begin
        get_summation:=0;
        i:=x;
        while i>0 do
        Begin
                get_summation:=get_summation+tree[i];
                i:=i-lowbit(i);
        end;
        exit(get_summation);
end;

4.区间极值

function get_maximum(x,y:int64):int64;
Var i:int64;
Begin
        get_maximum:=0;
        i:=y;
        while i>=x do
        Begin
                get_maximum:=max(interim[i],get_maximum);
                i:=i-1;
                while i-lowbit(i)>=x do
                Begin
                        get_maximum:=max(tree[i],get_maximum);
                        i:=i-lowbit(i);
                end;
        end;
        exit(get_maximum);
end;

以及……
区间修改可以树上差分。

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概念

树状数组与线段树相似，效率上要比线段树高，但适用性却不如线段树。

定义一个数组$Tree$表示子树的叶子结点的权值之和，这样可以发现到：
$Tree_1 = a_1$

$Tree_2 = a_1 + a_2$

$Tree_3 = a_3$

$Tree_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$

$Tree_5 = a_5$

$Tree_6 = a_5 + a_6$

$Tree_7 = a_7$

$Tree_8 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8$

$\cdots$

经过观察可以得出$Tree_i = a_{i-2^k+1} + a_{i-2^k+2} + \cdots + a_i$

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$\mathrm {lowbit}$ 函数的意义是取为 $x$ 的二进制表达式中最低位的1所对应的值
树状数组本就是对于二进制的理解&运用，利用 $\mathrm {lowbit}$ 我们可以快速遍历整棵树。

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于是乎，树状数组还可以解决各种关于区间の问题。